(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
V=A t x^2 imath-B t^3 y jmath+C x y k
onde A=3 m^-1, B=1 s^2 e C=5 m^-1 s^-1 ; x, y e z são dados em metros, e t em segundos, determine:
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto (x, y, z)=(3,2,4), no instante t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar a aceleração local de uma partícula de fluido em um ponto específico e em um instante determinado. Isso faz parte da Mecânica dos Fluidos, mais especificamente no estudo do movimento das partículas no fluido. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a aceleração local usando o campo de velocidade fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a aceleração local. Na Mecânica dos Fluidos, a aceleração total de uma partícula de fluido tem duas partes: a aceleração local e a aceleração convectiva. A aceleração local é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo mantido o ponto fixo no espaço. Matematicamente, é a derivada parcial do vetor velocidade alocal = partial Vpartial t em relação ao tempo :

Passo 3

Agora, vamos olhar para o campo de velocidade fornecido:
V = A t x^2 imath - B t^3 y jmath + C x y k
Onde:
  • , , estão em metros
  • est�� em segundos
Nossa tarefa é encontrar nesse ponto específico.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de cada componente da velocidade em relação ao tempo Vx = A t x^2 .
Primeiro, a componente partial Vxpartial t = A x^2 :
Vy = -B t^3 y
Derivando em relação a partial Vypartial t = -3B t^2 y :
Vz = C x y
Segundo, a componente partial Vzpartial t = 0 :
Derivando em relação a :
Por último, a componente :
Derivando em relação a :
Isso porque não depende de .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de partial Vxpartial t = 3 times x^2 , partial Vypartial t = -3 times 1 times t^2 times y = -3 t^2 y , e partial Vzpartial t = 0 nas derivadas que encontramos:

Passo 6

Em seguida, precisamos avaliar essas derivadas no ponto partial Vxpartial t = 3 times (3)^2 = 3 times 9 = 27 , m cdot s^-2 e no instante partial Vypartial t = -3 times (2)^2 times 2 = -3 times 4 times 2 = -24 , m cdot s^-2 .
Calculando cada componente:
Para partial Vzpartial t = 0 :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos juntar as componentes para formar o vetor aceleração local:
alocal = partial Vxpartial t imath + partial Vypartial t jmath + partial Vzpartial t k
Substituindo os valores calculados:
alocal = 27 imath - 24 jmath + 0 k , m cdot s^-2

Resposta

A aceleração local da partícula fluida no ponto alocal = 27 imath - 24 jmath , m cdot s^-2 no instante é:

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