(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto , no instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar a aceleração local de uma partícula de fluido em um ponto específico e em um instante determinado. Isso faz parte da Mecânica dos Fluidos, mais especificamente no estudo do movimento das partículas no fluido. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a aceleração local usando o campo de velocidade fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a aceleração local. Na Mecânica dos Fluidos, a aceleração total de uma partícula de fluido tem duas partes: a aceleração local e a aceleração convectiva. A aceleração local é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo mantido o ponto fixo no espaço. Matematicamente, é a derivada parcial do vetor velocidade em relação ao tempo :

Passo 3

Agora, vamos olhar para o campo de velocidade fornecido:
Onde:
  • , , estão em metros
  • est�� em segundos
Nossa tarefa é encontrar nesse ponto específico.

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de cada componente da velocidade em relação ao tempo .
Primeiro, a componente :
Derivando em relação a :
Segundo, a componente :
Derivando em relação a :
Por último, a componente :
Derivando em relação a :
Isso porque não depende de .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de , , e nas derivadas que encontramos:

Passo 6

Em seguida, precisamos avaliar essas derivadas no ponto e no instante .
Calculando cada componente:
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos juntar as componentes para formar o vetor aceleração local:
Substituindo os valores calculados:

Resposta

A aceleração local da partícula fluida no ponto no instante é:

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onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
a) este campo representa um possível escoamento incompressivel? Comprove matematicamente sua resposta.
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onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
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Dados: Pa.s