(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde
e
, y e z são dados em metros, e
em segundos, determine:
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto
, no instante
.
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar a aceleração local de uma partícula de fluido em um ponto específico e em um instante determinado. Isso faz parte da Mecânica dos Fluidos, mais especificamente no estudo do movimento das partículas no fluido. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a aceleração local usando o campo de velocidade fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a aceleração local. Na Mecânica dos Fluidos, a aceleração total de uma partícula de fluido tem duas partes: a aceleração local e a aceleração convectiva. A aceleração local é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo mantido o ponto fixo no espaço. Matematicamente, é a derivada parcial do vetor velocidade
em relação ao tempo
:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o campo de velocidade fornecido:
Onde:
-
-
-
-
, , estão em metros -
est�� em segundos
Nossa tarefa é encontrar
nesse ponto específico.
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de cada componente da velocidade em relação ao tempo
.
Primeiro, a componente
:
Derivando em relação a
:
Segundo, a componente
:
Derivando em relação a
:
Por último, a componente
:
Derivando em relação a
:
Isso porque
não depende de
.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores de
,
, e
nas derivadas que encontramos:
Passo 6
Em seguida, precisamos avaliar essas derivadas no ponto
e no instante
.
Calculando cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos juntar as componentes para formar o vetor aceleração local:
Substituindo os valores calculados:
Resposta
A aceleração local da partícula fluida no ponto
no instante
é: