(25 pontos) Considere o campo de escoamento com velocidade
, em que
e
, e as coordenadas são dadas em metros. Sabendo-se que a massa específica é
, e que a distribuição das forças de campo é
, determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto
, assumindo que este escoamento é não viscoso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de dinâmica dos fluidos! A gente tem um campo de escoamento com uma velocidade que depende das coordenadas
e
. Precisamos encontrar duas coisas: a aceleração de uma partícula do fluido e o gradiente de pressão no ponto
. Para isso, vamos usar as equações do movimento dos fluidos, considerando que o escoamento é não viscoso. Vamos precisar calcular as derivadas da velocidade para achar a aceleração e então aplicar a equação de Navier-Stokes simplificada para fluxo invíscido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a aceleração da partícula fluida. A aceleração
em um campo de velocidade
é dada pela derivada material de
:
Como o escoamento é estacionário (não depende do tempo), a primeira parte desaparece:
Vamos calcular isso passo a passo usando a expressão da velocidade dada.
Passo 3
Vamos agora calcular
. Primeiro, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Dada:
As derivadas são:
Então, o operador
aplicado a
fica:
Agora, calculamos
:
Portanto, a aceleração é:
Substituindo os valores dados
,
,
e as coordenadas
,
:
Passo 4
Agora, vamos determinar o gradiente de pressão no ponto
. Para isso, usamos a equação de Navier-Stokes para fluxo invíscido:
Queremos encontrar
:
Sabemos que
, mas como o fluxo está no plano
, o componente
não interfere no gradiente de pressão no plano. Assim, podemos considerar:
Substituindo
e
:
Resposta
A aceleração da partícula fluida é
e o gradiente de pressão no ponto
é
.
Exercícios relacionados
(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde
e
, y e z são dados em metros, e
em segundos, determine:
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto , no instante
.
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto
(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde
e
, y e z são dados em metros, e
em segundos, determine:
a) este campo representa um possível escoamento incompressivel? Comprove matematicamente sua resposta.
a) este campo representa um possível escoamento incompressivel? Comprove matematicamente sua resposta.
Uma coluna de resina de troca iônica é utilizada como pré-tratamento a um processo de geração de energia. A água alimentada entra na coluna a uma temperatura de
e escoa na coluna de cima para baixo com vazão de 25 US gal/min por
de recheio. A coluna possui diâmetro de
e altura de
. O recheio, constituído de partículas cilíndricas de diâmetro igual a
e altura de
, forma um leito de porosidade igual a 0,45 e repousa no interior da coluna sobre uma placa porosa que possui espessura de
, porosidade de 0,45 e permeabilidade de
. Calcule a potência da bomba (rend
) necessária à operação do sistema.
Dados: Pa.s
Dados:
Um filtro-prensa em escala piloto foi operado com queda de pressão constante para a filtração de uma suspensão de carbonato de cálcio em água. Os dados obtidos são mostrados na tabela abaixo. A área de filtração do filtro utilizado é de
, a massa de sólidos por unidade de volume de filtrado utilizada foi de
e a temperatura de operação foi de
. Encontre uma relação da resistividade da torta em função da queda de pressão.
Teste | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
|
6,7 | 16,2 | 28,2 | 36,3 | 49,1 |
Volume de <br> filtrado (L) | Tempo (s) | ||||
0,5 | 17,3 | 6,8 | 6,3 | 5,0 | |
1,0 | 41,3 | 19,0 | 14,0 | 11,5 | 9,4 |
1,5 | 72,0 | 34,6 | 24,2 | 19,8 | 16,3 |
2,0 | 108,3 | 53,4 | 37,0 | 30,1 | 24,6 |
2,5 | 152,1 | 76,0 | 51,7 | 42,5 | 34,7 |
3,0 | 201,7 | 102,0 | 69,0 | 56,8 | 46,1 |
3,5 | 131,2 | 88,8 | 73,0 | 59,0 | |
4,0 | 163,0 | 110,0 | 91,2 | 73,6 | |
4,5 | 134,0 | 111,0 |
|
||
5,0 | 160,0 | 156,8 | |||
5,5 | 182,5 | ||||
6,0 |
Dados:
Pa.s,