(25 pontos) Considere o campo de escoamento com velocidade , em que e , e as coordenadas são dadas em metros. Sabendo-se que a massa específica é , e que a distribuição das forças de campo é , determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto , assumindo que este escoamento é não viscoso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de dinâmica dos fluidos! A gente tem um campo de escoamento com uma velocidade que depende das coordenadas e . Precisamos encontrar duas coisas: a aceleração de uma partícula do fluido e o gradiente de pressão no ponto . Para isso, vamos usar as equações do movimento dos fluidos, considerando que o escoamento é não viscoso. Vamos precisar calcular as derivadas da velocidade para achar a aceleração e então aplicar a equação de Navier-Stokes simplificada para fluxo invíscido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração da partícula fluida. A aceleração em um campo de velocidade é dada pela derivada material de :
Como o escoamento é estacionário (não depende do tempo), a primeira parte desaparece:
Vamos calcular isso passo a passo usando a expressão da velocidade dada.

Passo 3

Vamos agora calcular . Primeiro, precisamos das derivadas parciais de em relação a e .
Dada:
As derivadas são:
Então, o operador aplicado a fica:
Agora, calculamos :
Portanto, a aceleração é:
Substituindo os valores dados , , e as coordenadas , :

Passo 4

Agora, vamos determinar o gradiente de pressão no ponto . Para isso, usamos a equação de Navier-Stokes para fluxo invíscido:
Queremos encontrar :
Sabemos que , mas como o fluxo está no plano , o componente não interfere no gradiente de pressão no plano. Assim, podemos considerar:
Substituindo e :

Resposta

A aceleração da partícula fluida é e o gradiente de pressão no ponto é .

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(25 pontos) Para um campo de velocidade idealizado, dado por
onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
c) a aceleração local de uma partícula fluida no ponto , no instante .
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onde e , y e z são dados em metros, e em segundos, determine:
a) este campo representa um possível escoamento incompressivel? Comprove matematicamente sua resposta.
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Dados: Pa.s
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Teste 1 2 3 4 5
) 6,7 16,2 28,2 36,3 49,1
Volume de <br> filtrado (L) Tempo (s)
0,5 17,3 6,8 6,3 5,0
1,0 41,3 19,0 14,0 11,5 9,4
1,5 72,0 34,6 24,2 19,8 16,3
2,0 108,3 53,4 37,0 30,1 24,6
2,5 152,1 76,0 51,7 42,5 34,7
3,0 201,7 102,0 69,0 56,8 46,1
3,5 131,2 88,8 73,0 59,0
4,0 163,0 110,0 91,2 73,6
4,5 134,0 111,0
5,0 160,0 156,8
5,5 182,5
6,0
Dados: Pa.s,