(25 pontos) Considere o campo de escoamento com velocidade V=(A x-B) imath+(C+A y) jmath, em que A=2 s^-1, B=5 m cdot s^-1 e C=3 m cdot s^-1, e as coordenadas são dadas em metros. Sabendo-se que a massa específica é 1,20 kg cdot m^-3, e que a distribuição das forças de campo é g=-g widehatk, determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto (x, y)=(1,3), assumindo que este escoamento é não viscoso.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de dinâmica dos fluidos! A gente tem um campo de escoamento com uma velocidade que depende das coordenadas e . Precisamos encontrar duas coisas: a aceleração de uma partícula do fluido e o gradiente de pressão no ponto . Para isso, vamos usar as equações do movimento dos fluidos, considerando que o escoamento é não viscoso. Vamos precisar calcular as derivadas da velocidade para achar a aceleração e então aplicar a equação de Navier-Stokes simplificada para fluxo invíscido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração da partícula fluida. A aceleração a = partial Vpartial t + (V cdot nabla) V em um campo de velocidade a = (V cdot nabla) V é dada pela derivada material de :
Como o escoamento é estacionário (não depende do tempo), a primeira parte desaparece:
Vamos calcular isso passo a passo usando a expressão da velocidade dada.

Passo 3

Vamos agora calcular V = (A x - B) imath + (C + A y) jmath . Primeiro, precisamos das derivadas parciais de partial Vxpartial x = A, partial Vxpartial y = 0 em relação a partial Vypartial x = 0, partial Vypartial y = A e nabla V = A & 0 0 & A .
Dada:
V cdot nabla = (A x - B) cdot A + (C + A y) cdot A = A (A x - B) imath + A (C + A y) jmath
As derivadas são:
a = A^2 x imath + A^2 y jmath - A B imath + A C jmath
a = (2^2 cdot 1 - 2 cdot 5) imath + (2^2 cdot 3 + 2 cdot 3) jmath = (4 - 10) imath + (12 + 6) jmath = -6 imath + 18 jmath, m cdot s^-2
Então, o operador aplicado a fica:
Agora, calculamos :
Portanto, a aceleração é:
Substituindo os valores dados , , e as coordenadas , :

Passo 4

Agora, vamos determinar o gradiente de pressão no ponto rho (a) = -nabla p + rho g . Para isso, usamos a equação de Navier-Stokes para fluxo invíscido:
nabla p = -rho a + rho g
Queremos encontrar nabla p = -rho a :
nabla p = -1,20 times (-6 imath + 18 jmath) = 7,2 imath - 21,6 jmath, Pa/m
Sabemos que , mas como o fluxo está no plano , o componente não interfere no gradiente de pressão no plano. Assim, podemos considerar:
Substituindo e :

Resposta

A aceleração da partícula fluida é e o gradiente de pressão no ponto é .

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