(25 pontos) Considere o campo de escoamento com velocidade
, em que
e
, e as coordenadas são dadas em metros. Sabendo-se que a massa específica é
, e que a distribuição das forças de campo é
, determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto
, assumindo que este escoamento é não viscoso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de dinâmica dos fluidos! A gente tem um campo de escoamento com uma velocidade que depende das coordenadas
e
. Precisamos encontrar duas coisas: a aceleração de uma partícula do fluido e o gradiente de pressão no ponto
. Para isso, vamos usar as equações do movimento dos fluidos, considerando que o escoamento é não viscoso. Vamos precisar calcular as derivadas da velocidade para achar a aceleração e então aplicar a equação de Navier-Stokes simplificada para fluxo invíscido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a aceleração da partícula fluida. A aceleração
em um campo de velocidade
é dada pela derivada material de
:
Como o escoamento é estacionário (não depende do tempo), a primeira parte desaparece:
Vamos calcular isso passo a passo usando a expressão da velocidade dada.
Passo 3
Vamos agora calcular
. Primeiro, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Dada:
As derivadas são:
Então, o operador
aplicado a
fica:
Agora, calculamos
:
Portanto, a aceleração é:
Substituindo os valores dados
,
,
e as coordenadas
,
:
Passo 4
Agora, vamos determinar o gradiente de pressão no ponto
. Para isso, usamos a equação de Navier-Stokes para fluxo invíscido:
Queremos encontrar
:
Sabemos que
, mas como o fluxo está no plano
, o componente
não interfere no gradiente de pressão no plano. Assim, podemos considerar:
Substituindo
e
:
Resposta
A aceleração da partícula fluida é
e o gradiente de pressão no ponto
é
.