O cometa Haley, em sua órbita em torno do Sol, possui um periélio (distância de maior aproximação do Sol) igual a (em que a unidade astronômica, , é a distância média entre a Terra e o Sol), e seu período é de anos. b) Qual a velocidade do cometa quando este está no periélio?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o cometa Haley que orbita o Sol com um periélio (a menor distância do Sol) de , onde . Além disso, o período orbital do cometa é anos. Precisamos encontrar a velocidade do cometa quando ele está no periélio. Para resolver isso, vamos usar a lei da conservação da energia ou a equação de vis-viva da mecânica orbital.

Passo 2

Vamos começar convertendo as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. Sabemos que . Então, o periélio em metros é:

Passo 3

A equação de vis-viva nos dá a velocidade de um objeto em órbita em qualquer ponto da sua trajetória. A fórmula é:
Onde:
  • é a constante gravitacional ( )
  • é a massa do Sol ( )
  • é a distância atual do cometa ao Sol (no periélio, )
  • é o semi-eixo maior da órbita

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar o semi-eixo maior . Sabemos que o período orbital e o semi-eixo maior estão relacionados pela terceira lei de Kepler:
Rearranjando para encontrar :
Mas precisamos converter o período de anos para segundos. Sabemos que:

Passo 5

Agora, substituindo os valores na fórmula para :
Calculando isso:
Então,

Passo 6

Agora que temos e , podemos usar a relação entre o periélio, o semi-eixo maior e a excentricidade :
Substituindo os valores:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, vamos usar a equação de vis-viva para encontrar a velocidade no periélio:
Substituindo os valores:
Calculando os termos dentro da raiz:
Agora,

Resposta

A velocidade do cometa Haley no periélio é aproximadamente .

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    a.
    3 e 4
    b.
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    1 e 3
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