O cometa Haley, em sua órbita em torno do Sol, possui um periélio (distância de maior aproximação do Sol) igual a dp=0,570 cup A (em que a unidade astronômica, 1 cup A= 1,50 times 10^11 m, é a distância média entre a Terra e o Sol), e seu período é de T=75,6 anos. e=c b) Qual a velocidade do cometa quando este está no periélio? (1 , 0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o cometa Haley que orbita o Sol com um periélio (a menor distância do Sol) de , onde . Além disso, o período orbital do cometa é anos. Precisamos encontrar a velocidade do cometa quando ele está no periélio. Para resolver isso, vamos usar a lei da conservação da energia ou a equação de vis-viva da mecânica orbital.

Passo 2

Vamos começar convertendo as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. Sabemos que dp = 0,570 times 1,50 times 10^11 , m = 8,55 times 10^10 , m . Então, o periélio em metros é:

Passo 3

A equação de vis-viva nos dá a velocidade de um objeto em órbita em qualquer ponto da sua trajetória. A fórmula é:
v = raizGM ( 2r - 1a )
Onde:
  • é a constante gravitacional ( )
  • é a massa do Sol ( )
  • é a distância atual do cometa ao Sol (no periélio, )
  • é o semi-eixo maior da órbita

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar o semi-eixo maior T^2 = 4pi^2 a^3GM . Sabemos que o período orbital a^3 = GMT^24pi^2 e o semi-eixo maior estão relacionados pela terceira lei de Kepler:
T = 75,6 , anos = 75,6 times 365,25 times 24 times 3600 , s approx 2,38 times 10^9 , s
Rearranjando para encontrar :
Mas precisamos converter o período de anos para segundos. Sabemos que:

Passo 5

Agora, substituindo os valores na fórmula para a^3 = 6,674 times 10^-11 , N·m^2/kg^2 times 1,989 times 10^30 , kg times (2,38 times 10^9 , s)^24pi^2 :
a^3 approx 6,674 times 10^-11 times 1,989 times 10^30 times 5,66 times 10^1839,478 approx 7,52 times 10^3839,478 approx 1,91 times 10^37 , m^3
Calculando isso:
a = raiz[3]1,91 times 10^37 approx 2,68 times 10^12 , m
Então,

Passo 6

Agora que temos dp = a(1 - e) e 8,55 times 10^10 = 2,68 times 10^12 (1 - e) , podemos usar a relação entre o periélio, o semi-eixo maior e a excentricidade 1 - e = 8,55 times 10^102,68 times 10^12 approx 0,0319 :
e approx 1 - 0,0319 = 0,9681
Substituindo os valores:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, vamos usar a equação de vis-viva para encontrar a velocidade no periélio:
vp = raizGM ( 2dp - 1a )
Substituindo os valores:
vp = raiz6,674 times 10^-11 times 1,989 times 10^30 ( 28,55 times 10^10 - 12,68 times 10^12 )
Calculando os termos dentro da raiz:
28,55 times 10^10 approx 2,34 times 10^-11 , m^-1
12,68 times 10^12 approx 3,73 times 10^-13 , m^-1
2,34 times 10^-11 - 3,73 times 10^-13 approx 2,30 times 10^-11 , m^-1
Agora,
vp = raiz6,674 times 10^-11 times 1,989 times 10^30 times 2,30 times 10^-11
vp = raiz6,674 times 1,989 times 2,30 times 10^8 approx raiz3,06 times 10^8 approx 1,75 times 10^4 , m/s

Resposta

A velocidade do cometa Haley no periélio é aproximadamente .

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