O cometa Haley, em sua órbita em torno do Sol, possui um periélio (distância de maior aproximação do Sol) igual a
(em que a unidade astronômica,
, é a distância média entre a Terra e o Sol), e seu período é de
anos.
b) Qual a velocidade do cometa quando este está no periélio?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o cometa Haley que orbita o Sol com um periélio (a menor distância do Sol) de
, onde
. Além disso, o período orbital do cometa é
anos. Precisamos encontrar a velocidade do cometa quando ele está no periélio. Para resolver isso, vamos usar a lei da conservação da energia ou a equação de vis-viva da mecânica orbital.
Passo 2
Vamos começar convertendo as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. Sabemos que
. Então, o periélio em metros é:
Passo 3
A equação de vis-viva nos dá a velocidade de um objeto em órbita em qualquer ponto da sua trajetória. A fórmula é:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ) -
é a massa do Sol ( ) -
é a distância atual do cometa ao Sol (no periélio, ) -
é o semi-eixo maior da órbita
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar o semi-eixo maior
. Sabemos que o período orbital
e o semi-eixo maior estão relacionados pela terceira lei de Kepler:
Rearranjando para encontrar
:
Mas precisamos converter o período
de anos para segundos. Sabemos que:
Passo 5
Agora, substituindo os valores na fórmula para
:
Calculando isso:
Então,
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos usar a relação entre o periélio, o semi-eixo maior e a excentricidade
:
Substituindo os valores:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, vamos usar a equação de vis-viva para encontrar a velocidade no periélio:
Substituindo os valores:
Calculando os termos dentro da raiz:
Agora,
Resposta
A velocidade do cometa Haley no periélio é aproximadamente
.