O cometa Haley, em sua órbita em torno do Sol, possui um periélio (distância de maior aproximação do Sol) igual a
(em que a unidade astronômica,
, é a distância média entre a Terra e o Sol), e seu período é de
anos.
a) Calcule a excentricidade da órbita do cometa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o cometa Haley, que tem uma órbita ao redor do Sol. A gente sabe a distância mais próxima do Sol nessa órbita, que é o periélio, e também o tempo que ele leva para completar uma volta, que é o período. Nosso objetivo aqui é calcular a excentricidade dessa órbita, que nos diz quão alongada ela é. Para isso, vamos usar a Lei de Kepler, que relaciona o período orbital com o tamanho da órbita, e a fórmula que liga o periélio à excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o período orbital (T) e o semi-eixo maior da órbita (a) pela terceira Lei de Kepler. A fórmula é:
Aqui, T está em anos e a está em unidades astronômicas (AU). Então, se o período T é 75,6 anos, podemos calcular a.
Passo 3
Vamos substituir o valor de T na fórmula:
Calculando
:
Então:
Passo 4
Agora, para encontrar a, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Calculando a raiz cúbica:
Passo 5
Sabemos que o periélio
está relacionado ao semi-eixo maior e à excentricidade (e) pela fórmula:
Queremos encontrar e, então reorganizamos a fórmula:
Passo 6
Substituímos os valores que temos:
Calculando a divisão:
Passo 7
Agora, subtraímos esse valor de 1:
Resposta
A excentricidade da órbita do cometa Haley é aproximadamente
.