Um cometa com órbita elíptica passa próximo à Terra em intervalos regulares descritos pela função f(x) = sen(2/3t) onde t representa o intervalo entre suas aparições em dezenas de anos. Suponha que a última aparição do cometa foi registrada em 1982. Este cometa passará pela Terra novamente em:
a)2015
b)2035
c)2075
d)2095
e)3000​

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está falando. Temos um cometa que passa perto da Terra em intervalos regulares, e isso é descrito pela função $ f(t) = \sin\left(\frac{2}{3}t\right) $. Aqui, $ t $ representa o intervalo entre as aparições do cometa em dezenas de anos. A última vez que o cometa apareceu foi em 1982, e a pergunta é: quando ele vai passar de novo pela Terra? As opções são anos específicos, então vamos precisar descobrir o intervalo de tempo entre as aparições usando trigonometria, especificamente a função seno.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que a função $ f(t) = \sin\left(\frac{2}{3}t\right) $ está nos dizendo. O seno é uma função periódica, o que significa que repete seus valores em intervalos regulares chamados de período. O período da função seno geral $ \sin(bt) $ é dado por $ T = \frac{2\pi}{b} $. No nosso caso, $ b = \frac{2}{3} $, então:
f(t) = sin(23t)

Passo 3

Agora que sabemos o período $ T = 3\pi $, vamos interpretar isso no contexto do problema. O período nos diz quanto tempo leva para a função $ f(t) $ completar um ciclo completo, ou seja, quanto tempo leva para o cometa voltar a passar perto da Terra novamente. Porém, lembre-se que $ t $ está medido em décadas (10 anos).

Passo 4

Vamos converter o período de $ 3\pi $ décadas para anos:
3pi é
Então, o cometa passa perto da Terra aproximadamente a cada 94 anos.

Passo 5

Sabendo que a última vez que o cometa passou perto da Terra foi em 1982, vamos somar o intervalo de 94 anos para encontrar a próxima passagem:
1982 + 94 = 2076
O ano mais próximo das opções fornecidas é 2075.

Resposta

A próxima passagem do cometa pela Terra será em 2075 (opção c).

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