Esboçe o gráfico da função f (x)= x²-2x-3 e determine as coordenadas de todos os pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função $ f(x) = x^2 - 2x - 3 $ e determinarmos as coordenadas de todos os pontos importantes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções quadráticas, como vértice, raízes e o eixo de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função quadrática geral $ f(x) = ax^2 + bx + c $. No nosso caso:
  • $ a = 1 $
  • $ b = -2 $
  • $ c = -3 $
Esses valores vão nos ajudar a encontrar o vértice, as raízes e o eixo de simetria.

Passo 3

Vamos encontrar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola, dependendo se ela está aberta para cima ou para baixo. Como $ a = 1 $ é positivo, a parábola abre para cima, então o vértice será o ponto mais baixo.
A fórmula para encontrar a coordenada $ x $ do vértice é:
a = 1
Substituindo os valores:
x
Agora, para encontrar a coordenada $ y $, substituímos $ x_v $ na função:
xv = -b2a
Então, o vértice é $ (1, -4) $.

Passo 4

Vamos determinar as raízes da função, ou seja, os valores de $ x $ onde $ f(x) = 0 $. Para isso, resolvemos a equação:
x
Podemos resolver essa equação pelo método de fatoração. Procuramos dois números que multiplicados dão $ -3 $ e somados dão $ -2 $. Esses números são $ -3 $ e $ 1 $.
Então, a equação fatorada fica:
f(x) = 0
Assim, as soluções são:
x^2 - 2x - 3 = 0
-3
Portanto, as raízes são $ x = 3 $ e $ x = -1 $, então os pontos são $ (3, 0) $ e $ (-1, 0) $.

Passo 5

O eixo de simetria da parábola é uma linha vertical que passa pelo vértice. A fórmula para encontrá-lo é a coordenada $ x $ do vértice:
x
Esse eixo divide a parábola em duas partes simétricas.

Passo 6

Agora, para esboçar o gráfico, vamos plotar os pontos que encontramos:
  • Vértice: $ (1, -4) $
  • Raízes: $ (3, 0) $ e $ (-1, 0) $
Além disso, podemos escolher mais um ponto para ter uma visão melhor da parábola. Vamos calcular $ f(0) $:
(1, -4)
Então, o ponto $ (0, -3) $ também está no gráfico.

Resposta

O gráfico da função $ f(x) = x^2 - 2x - 3 $ tem os seguintes pontos importantes:
  • Vértice: $ (1, -4) $
  • Raízes: $ (3, 0) $ e $ (-1, 0) $
  • Ponto adicional: $ (0, -3) $
Com esses pontos, você pode desenhar a parábola que abre para cima, passando por esses pontos e simétrica em relação ao eixo $ x = 1 $.

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