O Comitê de Política Monetária (COPOM) se reúne 8 vezes ao ano para, entre outras coisas, analisar o comportamento da inflação no país, pois o controle inflacionário é uma das prioridades na política econômica brasileira. Um dos resultados principais dessa reunião é a fixação de qual será a taxa básica de juros da economia brasileira (SELIC) até a reunião seguinte. Essa taxa é fixada objetivando manter a inflação dentro de metas previamente estabelecidas.
Um economista criou um modelo simplificado para projetar a taxa de inflação anual , que leva em conta apenas a taxa SELIC, , e a cotação do dólar, . A função obtida por ele foi
Suponha que e dependam do tempo , em meses, de acordo com as relações
Descreva a taxa de variação da inflação em relação ao tempo de acordo com o modelo construído acima deixando sua resposta apenas em função do tempo .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um modelo que relaciona a taxa de inflação anual com a taxa SELIC e a cotação do dólar . A função dada é:
Além disso, sabemos como e variam com o tempo (em meses):
O que precisamos fazer é encontrar a taxa de variação da inflação em função do tempo , usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função que depende de outras variáveis que também dependem do tempo. Isso é feito usando a Regra da Cadeia. Para nossa função , a derivada em relação ao tempo será:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Explicando: a derivada de em relação a é , daí multiplicamos por 0,4.

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Sabemos que:
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Também precisamos de . A questão já nos dá que:
Então, temos todas as partes necessárias para montar .

Passo 6

Vamos juntar tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo:
Então, fica:
  • Segundo termo:

Passo 7

Agora, somando os dois termos:

Resposta

A taxa de variação da inflação em relação ao tempo é:

Exercícios relacionados

Determine o domínio da função , e .
Estime a quantidade de metal de uma lata cilindrica fechada com 8 cm de diâmetro e 15 cm de altura, se a espessura da lata for de . Considere que .
Calcule a derivada da função , no ponto na direção do vetor .