O Comitê de Política Monetária (COPOM) se reúne 8 vezes ao ano para, entre outras coisas, analisar o comportamento da inflação no país, pois o controle inflacionário é uma das prioridades na política econômica brasileira. Um dos resultados principais dessa reunião é a fixação de qual será a taxa básica de juros da economia brasileira (SELIC) até a reunião seguinte. Essa taxa é fixada objetivando manter a inflação dentro de metas previamente estabelecidas.
Um economista criou um modelo simplificado para projetar a taxa de inflação anual T, que leva em conta apenas a taxa SELIC, S, e a cotação do dólar, C. A função obtida por ele foi
T(S, C) = -0,3 * S + 0,4 * raiz(C)
Suponha que C e S dependam do tempo t, em meses, de acordo com as relações
S(t) = cos(pi/4 * t) + 11,25 dC(t)/dt = raiz(C)
Descreva a taxa de variação da inflação em relação ao tempo de acordo com o modelo construído acima deixando sua resposta apenas em função do tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um modelo que relaciona a taxa de inflação anual com a taxa SELIC e a cotação do dólar . A função dada é:
Além disso, sabemos como e variam com o tempo (em meses):
O que precisamos fazer é encontrar a taxa de variação da inflação em função do tempo , usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função que depende de outras variáveis que também dependem do tempo. Isso é feito usando a Regra da Cadeia. Para nossa função , a derivada em relação ao tempo será:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Explicando: a derivada de em relação a é , daí multiplicamos por 0,4.

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Sabemos que:
A derivada de em relação a é . Então:

Passo 5

Também precisamos de . A questão já nos dá que:
Então, temos todas as partes necessárias para montar .

Passo 6

Vamos juntar tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo:
Então, fica:
  • Segundo termo:

Passo 7

Agora, somando os dois termos:

Resposta

A taxa de variação da inflação em relação ao tempo é:

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