O Comitê de Política Monetária (COPOM) se reúne 8 vezes ao ano para, entre outras coisas, analisar o comportamento da inflação no país, pois o controle inflacionário é uma das prioridades na política econômica brasileira. Um dos resultados principais dessa reunião é a fixação de qual será a taxa básica de juros da economia brasileira (SELIC) até a reunião seguinte. Essa taxa é fixada objetivando manter a inflação dentro de metas previamente estabelecidas.
Um economista criou um modelo simplificado para projetar a taxa de inflação anual
, que leva em conta apenas a taxa SELIC,
, e a cotação do dólar,
. A função obtida por ele foi
Suponha que
e
dependam do tempo
, em meses, de acordo com as relações
Descreva a taxa de variação da inflação em relação ao tempo de acordo com o modelo construído acima deixando sua resposta apenas em função do tempo
.
Um economista criou um modelo simplificado para projetar a taxa de inflação anual
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um modelo que relaciona a taxa de inflação anual
com a taxa SELIC
e a cotação do dólar
. A função dada é:
Além disso, sabemos como
e
variam com o tempo
(em meses):
O que precisamos fazer é encontrar a taxa de variação da inflação
em função do tempo
, usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada de uma função que depende de outras variáveis que também dependem do tempo. Isso é feito usando a Regra da Cadeia. Para nossa função
, a derivada em relação ao tempo
será:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Explicando: a derivada de
em relação a
é
, daí multiplicamos por 0,4.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que:
A derivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Também precisamos de
. A questão já nos dá que:
Então, temos todas as partes necessárias para montar
.
Passo 6
Vamos juntar tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo:
Então, fica:
- Segundo termo:
Passo 7
Agora, somando os dois termos:
Resposta
A taxa de variação da inflação em relação ao tempo
é: