Determine o domínio da função
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio da função
e também calcular
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções, especialmente sobre raízes quadradas e denominadores de frações. Vamos precisar verificar as condições para que a função seja válida, ou seja, onde está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Olhando para a nossa função:
Temos duas partes que impõem restrições:
-
Raiz quadrada: A expressão dentro da raiz,
, precisa ser maior ou igual a zero para termos números reais. Então, . -
Denominador: O denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida. Então, .
Passo 3
Vamos tratar cada condição uma por uma.
1. Condição da raiz quadrada:
Isso significa que
. Geometricamente, isso representa a região acima ou sobre a parábola
.
2. Condição do denominador:
Resolvendo:
Então, x não pode ser 1 nem -1.
Passo 4
Juntando as duas condições, o domínio da função é o conjunto de todos os pares
onde:
-
(estamos acima da parábola) -
e (evitamos os pontos onde o denominador seria zero)
Passo 5
Agora, vamos calcular
.
Primeiro, verificamos se o ponto
está no domínio da função.
Verificando a condição da raiz quadrada:
Como
, a condição
não é satisfeita.
Além disso, podemos verificar o denominador:
Mesmo o denominador não sendo zero, a raiz quadrada de um número negativo não é um número real. Portanto, a função não está definida nesse ponto.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
onde
e
nem
. Além disso,
não está definido porque o ponto
não pertence ao domínio da função.