Calcule a derivada da função
, no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de derivadas parciais e derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, o gradiente da função, e então calcular o produto escalar desse gradiente com o vetor direção
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais, vamos formar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais:
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Agora, para encontrar a derivada direcional na direção do vetor
, fazemos o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção:
Passo 6
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é
.
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, e a cotação do dólar,
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Um economista criou um modelo simplificado para projetar a taxa de inflação anual
Suponha que
e
dependam do tempo
, em meses, de acordo com as relações
Descreva a taxa de variação da inflação em relação ao tempo de acordo com o modelo construído acima deixando sua resposta apenas em função do tempo
.
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enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de
. Qual a taxa de variação do volume do cilindro em relação ao tempo quando seu raio é de 10 cm e sua altura é de 5 cm ?
Obs: Lembre-se que a fórmula do volume de um cilindro reto é , em que
é o raio da base e
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Obs: Lembre-se que a fórmula do volume de um cilindro reto é