Calcule a derivada da função , no ponto na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de derivadas parciais e derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais de em relação a e , o gradiente da função, e então calcular o produto escalar desse gradiente com o vetor direção .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora que temos as derivadas parciais, vamos formar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais:

Passo 4

Vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Agora, para encontrar a derivada direcional na direção do vetor , fazemos o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção:

Passo 6

Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção do vetor é .

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