Calcule a derivada da função
, no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de derivadas parciais e derivadas direcionais. Para isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, o gradiente da função, e então calcular o produto escalar desse gradiente com o vetor direção
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais, vamos formar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais:
Passo 4
Vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Agora, para encontrar a derivada direcional na direção do vetor
, fazemos o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção:
Passo 6
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
é
.