Uma companhia eletrônica fabrica resistores que cuja resistência segue distribuição normal de média 100 ohms e variância
. Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de 25 resistores deste tipo possuir resistência média menor que 95 ohms.
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Qual deverá ser o tamanho de uma amostra retirada de uma população
para que
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Qual deverá ser o tamanho de uma amostra retirada de uma população
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma população que segue uma distribuição normal com média de 200 e variância de 350, ou seja,
. A pergunta é: qual deve ser o tamanho da amostra
para que a probabilidade de a média amostral
estar dentro de 5 unidades da média da população seja de 95%, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Intervalo de Confiança para a média, que nos ajuda a determinar o intervalo no qual a média da população está com uma certa confiança, baseado na média da amostra. Também vamos precisar do Teorema Central do Limite, que nos permite assumir que a distribuição da média amostral é aproximadamente normal quando o tamanho da amostra é suficientemente grande.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição da média amostral
também segue uma distribuição normal, com média igual à média da população
e variância igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra
. Então temos:
Passo 3
Queremos que a probabilidade de
estar entre 195 e 205 seja 0.95:
Podemos reescrever isso em termos da distribuição padrão normal
:
Simplificando:
Passo 4
Sabemos que para um intervalo de confiança de 95%, os valores críticos de
são aproximadamente
. Então, igualando os termos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 6
Resolvendo para
:
Como não podemos ter uma fração de amostra, arredondamos para cima:
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de 54 resistores.