Uma companhia eletrônica fabrica resistores que cuja resistência segue distribuição normal de média 100 ohms e variância 100 ohms^2. Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de 25 resistores deste tipo possuir resistência média menor que 95 ohms.
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Qual deverá ser o tamanho de uma amostra retirada de uma população X sim N(200,350) para que P(|barX-200|<5)=0.95 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma população que segue uma distribuição normal com média de 200 e variância de 350, ou seja, . A pergunta é: qual deve ser o tamanho da amostra para que a probabilidade de a média amostral estar dentro de 5 unidades da média da população seja de 95%, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Intervalo de Confiança para a média, que nos ajuda a determinar o intervalo no qual a média da população está com uma certa confiança, baseado na média da amostra. Também vamos precisar do Teorema Central do Limite, que nos permite assumir que a distribuição da média amostral é aproximadamente normal quando o tamanho da amostra é suficientemente grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição da média amostral barX sim N(200, 350n) também segue uma distribuição normal, com média igual à média da população e variância igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra . Então temos:

Passo 3

Queremos que a probabilidade de P(195 < barX < 205) = 0.95 estar entre 195 e 205 seja 0.95:
P(195 - 200raiz350/n < Z < 205 - 200raiz350/n) = 0.95
Podemos reescrever isso em termos da distribuição padrão normal P(-5raiz350/n < Z < 5raiz350/n) = 0.95 :
Simplificando:

Passo 4

Sabemos que para um intervalo de confiança de 95%, os valores críticos de 5raiz350/n = 1.96 são aproximadamente . Então, igualando os termos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar 51.96 = raiz350n :
(51.96)^2 = 350n
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(51.96)^2 approx (2.551)^2 approx 6.506
Calculando o lado esquerdo:
6.506 = 350n
Então:

Passo 6

Resolvendo para n = 3506.506 approx 53.78 :
n approx 54
Como não podemos ter uma fração de amostra, arredondamos para cima:

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de 54 resistores.

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