Uma companhia eletrônica fabrica resistores que cuja resistência segue distribuição normal de média 100 ohms e variância . Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de 25 resistores deste tipo possuir resistência média menor que 95 ohms.
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Qual deverá ser o tamanho de uma amostra retirada de uma população para que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma população que segue uma distribuição normal com média de 200 e variância de 350, ou seja, . A pergunta é: qual deve ser o tamanho da amostra para que a probabilidade de a média amostral estar dentro de 5 unidades da média da população seja de 95%, ou seja, .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de Intervalo de Confiança para a média, que nos ajuda a determinar o intervalo no qual a média da população está com uma certa confiança, baseado na média da amostra. Também vamos precisar do Teorema Central do Limite, que nos permite assumir que a distribuição da média amostral é aproximadamente normal quando o tamanho da amostra é suficientemente grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição da média amostral também segue uma distribuição normal, com média igual à média da população e variância igual à variância da população dividida pelo tamanho da amostra . Então temos:

Passo 3

Queremos que a probabilidade de estar entre 195 e 205 seja 0.95:
Podemos reescrever isso em termos da distribuição padrão normal :
Simplificando:

Passo 4

Sabemos que para um intervalo de confiança de 95%, os valores críticos de são aproximadamente . Então, igualando os termos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Calculando o lado esquerdo:
Então:

Passo 6

Resolvendo para :
Como não podemos ter uma fração de amostra, arredondamos para cima:

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de 54 resistores.

Exercícios relacionados

A observação de atos de agressividade numa tribo de chimpanzés-pigmeus leva a crer que eles ocorrem de acordo com um processo de Poisson com taxa 7/hora. a) O que é a taxa de um processo de Poisson? b) Em termos gerais, quantos atos de agressividade ocorrem durante um dia? c) Qual é a probabilidade de numa hora ocorrerem menos do que três atos de agressividade?
Considerando lista a seguir, contendo informações do nome e número de irmãos dos indivíduos de uma população, selecione amostras conforme solicitado em cada item, indicando as etapas necessárias em cada seleção:
Analigia (3) Anderson (3) Anna (1) Arthur (3) Bruna (0)
Camila (2) Carlos (1) Carolina (2) Chrystiano (0) Cicero (3)
Daniela (1) Danilo (0) Davi (1) Diego (1) Ewerton (3)
Fabiana (0) Fabiano (2) Felipe (2) Herusca (1) Isabele (2)
Jordanye (0) Jose (1) Kllydevan (2) Luan (3) Luanna (2)
Luiz (1) Maecio (0) Magna (2) Maira (2) Marcia (2)
Maria (0) Marina (3) Matheus (1) Nailton (1) Nilman (1)
Oscar (2) Osnes (0) Patricia (2) Raquel (0) Reinaldo (1)
Renato (3) Ricardo (1) Roberta (3) Rodrigo (1) Ronaldo (2)
Soter (0) Stella (1) Taise (1) Thiago (0) Ygor (1)
e) Amostragem estratificada uniforme de tamanho 8, usando o número de irmãos como variável estratificadora.
Considerando lista a seguir, contendo informações do nome e número de irmãos dos indivíduos de uma população, selecione amostras conforme solicitado em cada item, indicando as etapas necessárias em cada seleção:
Analigia (3) Anderson (3) Anna (1) Arthur (3) Bruna (0)
Camila (2) Carlos (1) Carolina (2) Chrystiano (0) Cicero (3)
Daniela (1) Danilo (0) Davi (1) Diego (1) Ewerton (3)
Fabiana (0) Fabiano (2) Felipe (2) Herusca (1) Isabele (2)
Jordanye (0) Jose (1) Kllydevan (2) Luan (3) Luanna (2)
Luiz (1) Maecio (0) Magna (2) Maira (2) Marcia (2)
Maria (0) Marina (3) Matheus (1) Nailton (1) Nilman (1)
Oscar (2) Osnes (0) Patricia (2) Raquel (0) Reinaldo (1)
Renato (3) Ricardo (1) Roberta (3) Rodrigo (1) Ronaldo (2)
Soter (0) Stella (1) Taise (1) Thiago (0) Ygor (1)
d) Amostragem estratificada proporcional de tamanho 8, usando o número de irmãos como variável estratificadora;
Considerando lista a seguir, contendo informações do nome e número de irmãos dos indivíduos de uma população, selecione amostras conforme solicitado em cada item, indicando as etapas necessárias em cada seleção:
Analigia (3) Anderson (3) Anna (1) Arthur (3) Bruna (0)
Camila (2) Carlos (1) Carolina (2) Chrystiano (0) Cicero (3)
Daniela (1) Danilo (0) Davi (1) Diego (1) Ewerton (3)
Fabiana (0) Fabiano (2) Felipe (2) Herusca (1) Isabele (2)
Jordanye (0) Jose (1) Kllydevan (2) Luan (3) Luanna (2)
Luiz (1) Maecio (0) Magna (2) Maira (2) Marcia (2)
Maria (0) Marina (3) Matheus (1) Nailton (1) Nilman (1)
Oscar (2) Osnes (0) Patricia (2) Raquel (0) Reinaldo (1)
Renato (3) Ricardo (1) Roberta (3) Rodrigo (1) Ronaldo (2)
Soter (0) Stella (1) Taise (1) Thiago (0) Ygor (1)
b) Amostragem estratificada proporcional de tamanho 8 , usando a letra inicial do nome como variável estratificadora. Considere, para isto, que alunos com letra inicial de A a D pertencem ao ESTRATO 1, e os demais ao ESTRATO 2 ;