Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistência média de 100 ohms e um desvio-padrão de 10 ohms. A distribuição de resistências é normal.
Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de resistores ter uma resistência média menor que 95 ohms.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve estatística, mais especificamente sobre distribuições normais e probabilidade. O enunciado diz que uma companhia fabrica resistores com resistência média de 100 ohms e desvio-padrão de 10 ohms, e a distribuição dessas resistências é normal. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de, ao pegar uma amostra aleatória de 25 resistores, a resistência média dessa amostra seja menor que 95 ohms. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal, média amostral e o teorema do limite central.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma distribuição normal para as resistências dos resistores. Distribuição normal é aquela onde os dados se agrupam em torno da média, formando a clássica curva em forma de sino. Aqui, a média (μ) é 100 ohms e o desvio-padrão (σ) é 10 ohms.

Passo 3

Agora, como estamos lidando com uma amostra de 25 resistores, precisamos encontrar a média dessa amostra. A média amostral (X̄) também seguirá uma distribuição normal, com a mesma média μ, mas com um desvio-padrão reduzido. Esse desvio-padrão da média amostral é calculado pela fórmula:
Onde n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos calcular o desvio-padrão da média amostral:
Então, a média amostral X̄ tem média de 100 ohms e desvio-padrão de 2 ohms.

Passo 5

Queremos encontrar a probabilidade de que essa média amostral seja menor que 95 ohms, ou seja, P(X̄ < 95). Para isso, vamos padronizar esse valor usando a fórmula do Z-score:
Onde:
  • é a média amostral
  • é a média populacional
  • é o desvio-padrão da média amostral

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do Z-score:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar a probabilidade associada a Z = -2,5 em uma distribuição normal padrão. Isso significa que queremos saber a área à esquerda de Z = -2,5 na curva normal.

Passo 8

Consultando uma tabela de distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 0,62% de probabilidade de a média de uma amostra de 25 resistores ser menor que 95 ohms.

Resposta

A probabilidade é de aproximadamente .

Exercícios relacionados

Sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
e variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
a) As variáveis são independentes?
Quando um lote de certo produto químico é preparado, a quantidade de uma impureza específica no lote é uma variável aleatória com valor médio de e desvio padrão de . Se 50 lotes forem preparados independentemente, qual é a probabilidade (aproximada) de a quantidade média de impureza da amostra estar entre 3,5 e 3,8 g? [Considere a regra prática dita em poucas palavras: é grande o suficiente para que o TLC seja aplicável.]
A venda bruta diária de um restaurante, em milhares de reais, é normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 2. Calcule a probabilidade de que
a) a venda bruta total em dois dias exceda 23 mil reais;
Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistência média de 100 ohms e um desvio-padrão de 10 ohms. A distribuição de resistências é normal.
Qual o tamanho da amostra que a companhia eletrônica deve avaliar para que a probabilidade de a média amostral estar entre 98 e 102 ohms seja de ?