Quando um lote de certo produto químico é preparado, a quantidade de uma impureza específica no lote é uma variável aleatória com valor médio de
e desvio padrão de
. Se 50 lotes forem preparados independentemente, qual é a probabilidade (aproximada) de a quantidade média de impureza
da amostra estar entre 3,5 e 3,8 g? [Considere a regra prática dita em poucas palavras:
é grande o suficiente para que o TLC seja aplicável.]
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente está falando sobre a quantidade de uma impureza em lotes de um produto químico. A média dessa impureza é de
e o desvio padrão é
. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de que, ao preparar 50 lotes, a média das impurezas fique entre
e
. Para resolver isso, vamos usar a estatística que envolve a Média Amostral e o Teorema Central do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma média amostral de várias observações independentes, podemos usar o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL nos diz que a distribuição da média amostral tende a ser normal, mesmo que a distribuição original não seja, especialmente quando o tamanho da amostra é grande (neste caso,
é considerado grande).
Passo 3
A média da distribuição da média amostral (
) é igual à média da população, então:
Passo 4
O desvio padrão da média amostral, também conhecido como erro padrão (
), é calculado dividindo o desvio padrão da população pelo raiz quadrada do tamanho da amostra:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral esteja entre
e
. Para isso, vamos calcular os valores Z correspondentes a esses limites usando a fórmula:
Passo 6
Calculando o Z para
:
Calculando o Z para
:
Passo 7
Com os valores Z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes.
- Para
, a probabilidade acumulada é aproximadamente . - Para
, a probabilidade acumulada é aproximadamente .
Passo 8
A probabilidade de a média amostral estar entre
e
é a diferença entre essas duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade aproximada de a média das impurezas estar entre
e
é de
.