Quando um lote de certo produto químico é preparado, a quantidade de uma impureza específica no lote é uma variável aleatória com valor médio de e desvio padrão de . Se 50 lotes forem preparados independentemente, qual é a probabilidade (aproximada) de a quantidade média de impureza da amostra estar entre 3,5 e 3,8 g? [Considere a regra prática dita em poucas palavras: é grande o suficiente para que o TLC seja aplicável.]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente está falando sobre a quantidade de uma impureza em lotes de um produto químico. A média dessa impureza é de e o desvio padrão é . A pergunta quer saber qual é a probabilidade de que, ao preparar 50 lotes, a média das impurezas fique entre e . Para resolver isso, vamos usar a estatística que envolve a Média Amostral e o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma média amostral de várias observações independentes, podemos usar o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL nos diz que a distribuição da média amostral tende a ser normal, mesmo que a distribuição original não seja, especialmente quando o tamanho da amostra é grande (neste caso, é considerado grande).

Passo 3

A média da distribuição da média amostral ( ) é igual à média da população, então:

Passo 4

O desvio padrão da média amostral, também conhecido como erro padrão ( ), é calculado dividindo o desvio padrão da população pelo raiz quadrada do tamanho da amostra:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral esteja entre e . Para isso, vamos calcular os valores Z correspondentes a esses limites usando a fórmula:

Passo 6

Calculando o Z para :
Calculando o Z para :

Passo 7

Com os valores Z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes.
  • Para , a probabilidade acumulada é aproximadamente .
  • Para , a probabilidade acumulada é aproximadamente .

Passo 8

A probabilidade de a média amostral estar entre e é a diferença entre essas duas probabilidades:

Resposta

A probabilidade aproximada de a média das impurezas estar entre e é de .

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á
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