Quando um lote de certo produto químico é preparado, a quantidade de uma impureza específica no lote é uma variável aleatória com valor médio de 4,0 g e desvio padrão de 1,5 g. Se 50 lotes forem preparados independentemente, qual é a probabilidade (aproximada) de a quantidade média de impureza X da amostra estar entre 3,5 e 3,8 g? [Considere a regra prática dita em poucas palavras: n=50 é grande o suficiente para que o TLC seja aplicável.]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema juntos! A gente está falando sobre a quantidade de uma impureza em lotes de um produto químico. A média dessa impureza é de 4,0 g e o desvio padrão é 1,5 g. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de que, ao preparar 50 lotes, a média das impurezas fique entre 3,5 g e 3,8 g. Para resolver isso, vamos usar a estatística que envolve a Média Amostral e o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma média amostral de várias observações independentes, podemos usar o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL nos diz que a distribuição da média amostral tende a ser normal, mesmo que a distribuição original não seja, especialmente quando o tamanho da amostra é grande (neste caso, n=50 é considerado grande).

Passo 3

A média da distribuição da média amostral ( mubarX) é igual à média da população, então:
mubarX = mu = 4,0 g

Passo 4

O desvio padrão da média amostral, também conhecido como erro padrão ( sigmabarX), é calculado dividindo o desvio padrão da população pelo raiz quadrada do tamanho da amostra:
sigmabarX = sigmaraizn = 1,5raiz50 approx 0,2121 g

Passo 5

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral esteja entre 3,5 g e 3,8 g. Para isso, vamos calcular os valores Z correspondentes a esses limites usando a fórmula:
Z = barX - mubarXsigmabarX

Passo 6

Calculando o Z para 3,5 g:
Z1 = 3,5 - 4,00,2121 approx -0,50,2121 approx -2,357
Calculando o Z para 3,8 g:
Z2 = 3,8 - 4,00,2121 approx -0,20,2121 approx -0,943

Passo 7

Com os valores Z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes.
  • Para Z1 = -2,357, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,0093.
  • Para Z2 = -0,943, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,1736.

Passo 8

A probabilidade de a média amostral estar entre 3,5 g e 3,8 g é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(3,5 <= barX <= 3,8) = P(Z2) - P(Z1) = 0,1736 - 0,0093 = 0,1643

Resposta

A probabilidade aproximada de a média das impurezas estar entre 3,5 g e 3,8 g é de 16,43%.

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