Sejam variáveis aleatórias com função densidade conjunta dada por
e variáveis aleatórias com densidade conjunta dada por
a) As variáveis são independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se as variáveis aleatórias e são independentes, dado que a função densidade conjunta delas é para e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas variáveis serem independentes e como trabalhar com funções densidade conjunta e marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que duas variáveis aleatórias são independentes. Duas variáveis e são independentes se a função densidade conjunta for igual ao produto das funções densidade marginais de cada uma delas, ou seja:
Então, precisamos encontrar as funções densidade marginais e e verificar se seu produto é igual a .

Passo 3

Vamos começar encontrando a função densidade marginal de , . Para isso, integramos a função densidade conjunta em relação a :

Passo 4

Calculando a integral:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função densidade marginal de , . Integramos a função densidade conjunta em relação a :

Passo 6

Calculando essa integral:
Sabemos que (é uma integral conhecida da função densidade de uma distribuição exponencial).
Então,

Passo 7

Agora que temos e , vamos multiplicar essas duas funções e ver se é igual à função densidade conjunta :

Passo 8

Vimos que . Isso significa que a função densidade conjunta é igual ao produto das funções densidade marginais.

Resposta

Sim, as variáveis e são independentes.

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