Uma companhia fabrica lâmpadas com uma duração média de 10 horas e distribuição exponencial. Responda ( 2,0 pontos): a) Qual a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 85 horas sabendo-se que ela durou mais de 65 horas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma empresa que fabrica lâmpadas cuja duração média é de 10 horas, seguindo uma distribuição exponencial. A questão nos pede para encontrar a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 85 horas, sabendo que ela já durou mais de 65 horas. Isso envolve conceitos de probabilidade condicional e distribuição exponencial.

Passo 2

A distribuição exponencial é definida pela função de densidade:
f(x) = lambda e^-lambda x, x >= 0
Onde lambda é a taxa de falha. Sabemos que a duração média mu é relacionada com lambda por:
mu = 1lambda
Dado que a duração média é 10 horas:
lambda = 110 = 0,1 horas^-1

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade condicional:
P(X < 85 mid X > 65)
Na distribuição exponencial, a propriedade sem memória diz que:
P(X > s + t mid X > s) = P(X > t)
Isso simplifica nossos cálculos, pois podemos reescrever a probabilidade condicional como:
P(X < 85 mid X > 65) = P(65 < X < 85 mid X > 65) = P(X < 20)
Aqui, subtraímos 65 de 85 para utilizar a propriedade sem memória.

Passo 4

Agora, calculamos P(X < 20) usando a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
P(X < x) = 1 - e^-lambda x
Substituindo lambda = 0,1 e x = 20:
P(X < 20) = 1 - e^-0,1 times 20 = 1 - e^-2

Passo 5

Calculando o valor numérico:
e^-2 approx 0,1353
Portanto:
P(X < 20) = 1 - 0,1353 = 0,8647

Resposta

A probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 85 horas, sabendo que já durou mais de 65 horas, é aproximadamente 86,47%.

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