Uma companhia fabrica lâmpadas com uma duração média de 10 horas e distribuição exponencial. Responda ( 2,0 pontos): a) Qual a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 85 horas sabendo-se que ela durou mais de 65 horas?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma empresa que fabrica lâmpadas cuja duração média é de 10 horas, seguindo uma distribuição exponencial. A questão nos pede para encontrar a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 85 horas, sabendo que ela já durou mais de 65 horas. Isso envolve conceitos de probabilidade condicional e distribuição exponencial.
Passo 2
A distribuição exponencial é definida pela função de densidade:
Onde
é a taxa de falha. Sabemos que a duração média
é relacionada com
por:
Dado que a duração média é 10 horas:
Passo 3
Queremos encontrar a probabilidade condicional:
Na distribuição exponencial, a propriedade sem memória diz que:
Isso simplifica nossos cálculos, pois podemos reescrever a probabilidade condicional como:
Aqui, subtraímos 65 de 85 para utilizar a propriedade sem memória.
Passo 4
Agora, calculamos
usando a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
Substituindo
e
:
Passo 5
Calculando o valor numérico:
Portanto:
Resposta
A probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 85 horas, sabendo que já durou mais de 65 horas, é aproximadamente 86,47%.