Uma companhia fabrica lâmpadas com uma duração média de 10 horas e distribuição exponencial. Responda ( 2,0 pontos): b) Qual deve ser o tempo de garantia do fabricante para ter apenas
de probabilidade de haver restituição?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma companhia que fabrica lâmpadas com uma duração média de 10 horas, seguindo uma distribuição exponencial. A pergunta é: Qual deve ser o tempo de garantia do fabricante para que apenas 5% das lâmpadas falhem antes desse tempo, ou seja, para que haja apenas 5% de probabilidade de precisar devolver a lâmpada?
Para resolver isso, precisamos usar conhecimentos de distribuição exponencial e calcular o tempo de garantia que corresponde a uma probabilidade específica de falha.
Passo 2
A distribuição exponencial é frequentemente usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é dada por:
Onde:
-
é a taxa de falha. -
é o tempo até a falha.
A função de distribuição acumulada (CDF), que nos dá a probabilidade de a lâmpada falhar antes do tempo
, é:
Passo 3
Sabemos que a duração média das lâmpadas é de 10 horas. Para a distribuição exponencial, a média
está relacionada à taxa
por:
Então, podemos encontrar
da seguinte forma:
Passo 4
Queremos encontrar o tempo de garantia
tal que a probabilidade de falha antes desse tempo seja de 5%, ou seja:
Substituindo na fórmula da CDF:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Calculando o valor numérico:
Convertendo para minutos:
Resposta
O tempo de garantia deve ser de aproximadamente 30,8 minutos para que haja apenas 5% de probabilidade de restituição.