Uma companhia fabrica lâmpadas com uma duração média de 10 horas e distribuição exponencial. Responda ( 2,0 pontos): b) Qual deve ser o tempo de garantia do fabricante para ter apenas 5 % de probabilidade de haver restituição?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma companhia que fabrica lâmpadas com uma duração média de 10 horas, seguindo uma distribuição exponencial. A pergunta é: Qual deve ser o tempo de garantia do fabricante para que apenas 5% das lâmpadas falhem antes desse tempo, ou seja, para que haja apenas 5% de probabilidade de precisar devolver a lâmpada?
Para resolver isso, precisamos usar conhecimentos de distribuição exponencial e calcular o tempo de garantia que corresponde a uma probabilidade específica de falha.

Passo 2

A distribuição exponencial é frequentemente usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. A função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial é dada por:
f(x) = lambda e^-lambda x para x >= 0
Onde:
  • F(T) = 1 - e^-lambda T é a taxa de falha.
  • é o tempo até a falha.
A função de distribuição acumulada (CDF), que nos dá a probabilidade de a lâmpada falhar antes do tempo , é:

Passo 3

Sabemos que a duração média das lâmpadas é de 10 horas. Para a distribuição exponencial, a média mu = 1lambda está relacionada à taxa lambda = 1mu = 110 = 0.1 , horas^-1 por:
Então, podemos encontrar da seguinte forma:

Passo 4

Queremos encontrar o tempo de garantia F(T) = 0.05 tal que a probabilidade de falha antes desse tempo seja de 5%, ou seja:
1 - e^-0.1 T = 0.05
Substituindo na fórmula da CDF:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar e^-0.1 T = 1 - 0.05 e^-0.1 T = 0.95 :
-0.1 T = ln(0.95)
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
T = -ln(0.95)0.1

Passo 6

Calculando o valor numérico:
ln(0.95) approx -0.051293
T = --0.0512930.1 = 0.0512930.1 approx 0.51293 , horas
Convertendo para minutos:
0.51293 , horas times 60 approx 30.776 , minutos

Resposta

O tempo de garantia deve ser de aproximadamente 30,8 minutos para que haja apenas 5% de probabilidade de restituição.

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