Dada a distribuição N(10 ; 5^2), calcular as probabilidades : P(10 <= X <= 15)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma distribuição normal representada por N(10; 5^2), que significa que a média ( mu) é 10 e o desvio padrão ( sigma) é 5. O exercício quer que a gente calcule a probabilidade de uma variável aleatória X estar entre 10 e 15, ou seja, P(10 <= X <= 15). Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição normal e usar a tabela Z ou funções de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, vamos padronizar os valores para converter nossa distribuição normal para a padrão normal, que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronizar é:
Z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que queremos padronizar,
  • mu é a média da distribuição,
  • sigma é o desvio padrão.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para os limites inferior e superior do intervalo que nos foi dado, ou seja, para X = 10 e X = 15.
Para X = 10:
Z1 = 10 - 105 = 05 = 0
Para X = 15:
Z2 = 15 - 105 = 55 = 1

Passo 4

Agora que temos os valores padronizados Z1 = 0 e Z2 = 1, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses valores na tabela da distribuição normal padrão (Tabela Z).
A Tabela Z nos dá a probabilidade acumulada de uma variável aleatória ser menor que um determinado valor Z. Ou seja, P(Z <= z).

Passo 5

Vamos encontrar P(Z <= 1) e P(Z <= 0) usando a Tabela Z.
Sabemos que:
  • P(Z <= 0) = 0,5 (porque a distribuição normal é simétrica em torno de zero).
  • P(Z <= 1) = 0,8413 (valor aproximado da tabela Z para Z = 1).

Passo 6

A probabilidade de X estar entre 10 e 15 é a diferença entre essas duas probabilidades acumuladas:
P(10 <= X <= 15) = P(Z <= 1) - P(Z <= 0) = 0,8413 - 0,5 = 0,3413

Resposta

A probabilidade de X estar entre 10 e 15 é aproximadamente 0,3413 ou 34,13%.

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