Dada a distribuição
, calcular as probabilidades :
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma distribuição normal representada por
, que significa que a média (
) é 10 e o desvio padrão (
) é 5. O exercício quer que a gente calcule a probabilidade de uma variável aleatória
estar entre 10 e 15, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição normal e usar a tabela Z ou funções de distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, vamos padronizar os valores para converter nossa distribuição normal para a padrão normal, que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronizar é:
Onde:
-
é o valor que queremos padronizar, -
é a média da distribuição, -
é o desvio padrão.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para os limites inferior e superior do intervalo que nos foi dado, ou seja, para
e
.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos os valores padronizados
e
, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses valores na tabela da distribuição normal padrão (Tabela Z).
A Tabela Z nos dá a probabilidade acumulada de uma variável aleatória ser menor que um determinado valor Z. Ou seja,
.
Passo 5
Vamos encontrar
e
usando a Tabela Z.
Sabemos que:
-
(porque a distribuição normal é simétrica em torno de zero). -
(valor aproximado da tabela Z para Z = 1).
Passo 6
A probabilidade de
estar entre 10 e 15 é a diferença entre essas duas probabilidades acumuladas:
Resposta
A probabilidade de
estar entre 10 e 15 é aproximadamente
ou
.