Seja X sim N(5,9). Determine P(X <= 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média 5 e variância 9, ou seja, . A pergunta é: qual a probabilidade de ser menor ou igual a 2, representada por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e à padronização de variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a probabilidade de uma variável normal ser menor ou igual a um certo valor. Como está distribuída normalmente, podemos usar a tabela da distribuição normal padrão (também conhecida como tabela Z). Para isso, vamos transformar em uma variável Z que segue uma distribuição normal padrão, com média 0 e desvio padrão 1.

Passo 3

A transformação se faz através da fórmula:
Z = X - musigma
Onde:
  • é a média da distribuição ( )
  • é o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância ( )

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para Z = 2 - 53 = -33 = -1 :
Então, queremos encontrar .

Passo 5

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos a probabilidade correspondente a . A tabela nos dá a área à esquerda de um valor Z específico. Para , a probabilidade é aproximadamente 0,1587.

Resposta

Portanto, a probabilidade de ser menor ou igual a 2 é aproximadamente 15,87%.

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