Seja
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória
que segue uma distribuição normal com média 5 e variância 9, ou seja,
. A pergunta é: qual a probabilidade de
ser menor ou igual a 2, representada por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e à padronização de variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a probabilidade de uma variável normal ser menor ou igual a um certo valor. Como
está distribuída normalmente, podemos usar a tabela da distribuição normal padrão (também conhecida como tabela Z). Para isso, vamos transformar
em uma variável Z que segue uma distribuição normal padrão, com média 0 e desvio padrão 1.
Passo 3
A transformação se faz através da fórmula:
Onde:
-
é a média da distribuição ( ) -
é o desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância ( )
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para
:
Então, queremos encontrar
.
Passo 5
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos a probabilidade correspondente a
. A tabela nos dá a área à esquerda de um valor Z específico. Para
, a probabilidade é aproximadamente 0,1587.
Resposta
Portanto, a probabilidade de
ser menor ou igual a 2 é aproximadamente 15,87%.