A densidade de uma solução preparada em laboratório segue uma distribuição normal com média 1,05 g / mL e desvio padrão de 0,02 g / mL. Qual é a probabilidade de que a densidade de uma amostra seja inferior a 1,03 g / mL ?
Solução. Para X sim N(1.05,0.02^2), desejamos calcular P(X <= 1.03) :
P(X <= 1.03)=P(Z <= 1.03-1.050.02)=P(Z <=-1)
Da tabela da distribuição normal padrão, temos P(Z <=-1)=0.1587.

Passo 1

Vamos lá! Você tem uma solução no laboratório cuja densidade segue uma distribuição normal. A média da densidade é 1,05 , g/mL e o desvio padrão é 0,02 , g/mL. Queremos descobrir qual a probabilidade de uma amostra dessa solução ter densidade menor que 1,03 , g/mL. Para resolver isso, vamos usar a distribuição normal e trabalhar com a tabela da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a nossa variável aleatória. Seja X a densidade da solução, então X segue uma distribuição normal com média mu = 1,05 , g/mL e variância sigma^2 = (0,02)^2 , g^2/mL^2. Escrito matematicamente:
X sim N(1,05, , 0,02^2)

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de X ser menor que 1,03 , g/mL, ou seja, P(X <= 1,03). Para isso, vamos padronizar essa variável usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que queremos avaliar ( 1,03),
  • mu é a média ( 1,05),
  • sigma é o desvio padrão ( 0,02).

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula do z:
z = 1,03 - 1,050,02 = -0,020,02 = -1
Então, estamos procurando P(Z <= -1), onde Z segue a distribuição normal padrão ( Z sim N(0,1)).

Passo 5

Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente a Z <= -1. A tabela nos diz que:
P(Z <= -1) = 0,1587

Resposta

A probabilidade de que a densidade de uma amostra seja inferior a 1,03 , g/mL é de aproximadamente 15,87%.

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