Determine a quantidade de
(metros quadrados) necessários para que se registre a ocorrência de pelo menos 1 defeito com probabilidade de 0,90.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos descobrir quantos metros quadrados são necessários para que a chance de encontrar pelo menos 1 defeito seja de 90% (0,90). Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade de ocorrência de eventos raros, especificamente a distribuição de Poisson.
Passo 2
A distribuição de Poisson é útil para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em uma área ou intervalo de tempo fixo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa conhecida e de forma independente. Neste caso, os “eventos” são os defeitos na área em metros quadrados.
Passo 3
A probabilidade de não ocorrer nenhum defeito em uma área
pode ser calculada usando a fórmula da distribuição de Poisson:
onde
é a taxa média de defeitos por metro quadrado.
Passo 4
Queremos que a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 defeito seja de 90%. Isso significa que a probabilidade de não ocorrer nenhum defeito deve ser de 10% (0,10), já que
.
Passo 5
Então, igualamos a probabilidade de nenhum defeito a 0,10:
Passo 6
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Passo 7
Isolando
, temos:
Passo 8
Calculando o valor de
:
Portanto:
Resposta
A quantidade de metros quadrados necessários para registrar pelo menos 1 defeito com uma probabilidade de 90% é: