Determine a quantidade de m^2 (metros quadrados) necessários para que se registre a ocorrência de pelo menos 1 defeito com probabilidade de 0,90.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos descobrir quantos metros quadrados são necessários para que a chance de encontrar pelo menos 1 defeito seja de 90% (0,90). Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade de ocorrência de eventos raros, especificamente a distribuição de Poisson.

Passo 2

A distribuição de Poisson é útil para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em uma área ou intervalo de tempo fixo, quando esses eventos ocorrem com uma taxa conhecida e de forma independente. Neste caso, os “eventos” são os defeitos na área em metros quadrados.

Passo 3

A probabilidade de não ocorrer nenhum defeito em uma área P(0) = e^-lambda A pode ser calculada usando a fórmula da distribuição de Poisson:
onde é a taxa média de defeitos por metro quadrado.

Passo 4

Queremos que a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 defeito seja de 90%. Isso significa que a probabilidade de não ocorrer nenhum defeito deve ser de 10% (0,10), já que .

Passo 5

Então, igualamos a probabilidade de nenhum defeito a 0,10:
e^-lambda A = 0,10

Passo 6

Para resolver para -lambda A = ln(0,10) , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 7

Isolando A = -ln(0,10)lambda , temos:

Passo 8

Calculando o valor de ln(0,10) approx -2,3026 :
A = 2,3026lambda
Portanto:

Resposta

A quantidade de metros quadrados necessários para registrar pelo menos 1 defeito com uma probabilidade de 90% é:
A = 2,3026lambda , m^2

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