Uma companhia multinacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto. A fábrica I é responsável por 30 % do total produzido, a fábrica II produz 45% do total, e o restante vem da fábrica III. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais produtos são considerados a) Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de qualidade?
b) Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é a probabilidade que ele tenha sido produzido na fábrica II?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma companhia com três fábricas que produzem o mesmo produto. A fábrica I faz 30% da produção total, a fábrica II faz 45% e a fábrica III faz os 25% restantes. Cada uma dessas fábricas tem uma certa taxa de produtos defeituosos. Precisamos calcular:
a) A probabilidade de encontrar um produto defeituoso na inspeção de qualidade.
b) Se encontrarmos um produto defeituoso, qual a probabilidade de ele ter vindo da fábrica II.
Vamos usar conceitos de Probabilidade Total e Teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos. Sabemos as porcentagens de produção de cada fábrica:
  • Fábrica I: 30% (ou 0,3)
  • Fábrica II: 45% (ou 0,45)
  • Fábrica III: 25% (ou 0,25)
Além disso, cada fábrica tem uma taxa de defeito específica:
  • Taxa de defeito da Fábrica I: digamos, 2% (ou 0,02)
  • Taxa de defeito da Fábrica II: digamos, 1,5% (ou 0,015)
  • Taxa de defeito da Fábrica III: digamos, 3% (ou 0,03)
Nota: Estou assumindo essas taxas de defeito para continuar com a resolução. Se houver taxas específicas, substitua esses valores pelos corretos.

Passo 3

Para a parte a), queremos saber a probabilidade de encontrar um produto defeituoso na inspeção. Isso envolve calcular a probabilidade total de defeito considerando todas as fábricas. Usamos a Regra da Probabilidade Total:
P(D) = P(D|F1)P(F1) + P(D|F2)P(F2) + P(D|F3)P(F3)
Onde:
  • $ P(D) $ é a probabilidade de um produto ser defeituoso.
  • $ P(D|F_i) $ é a probabilidade de defeito dado que o produto veio da fábrica $ i $.
  • $ P(F_i) $ é a probabilidade de o produto vir da fábrica $ i $.

Passo 4

Vamos substituir os valores:
P(D) = (0,02 times 0,3) + (0,015 times 0,45) + (0,03 times 0,25)
Calculando cada parte:
0,02 times 0,3 = 0,006
0,015 times 0,45 = 0,00675
0,03 times 0,25 = 0,0075
Agora somamos esses valores:
P(D) = 0,006 + 0,00675 + 0,0075 = 0,02025
Então, a probabilidade de encontrar um produto defeituoso é de 2,025%.

Passo 5

Agora, para a parte b), queremos a probabilidade de que um produto defeituoso veio da fábrica II. Aqui, usamos o Teorema de Bayes, que nos ajuda a inverter as probabilidades condicionais.
A fórmula é:
P(F2|D) = P(D|F2)P(F2)P(D)
Onde:
  • $ P(F_2|D) $ é a probabilidade de o produto ter vindo da fábrica II dado que é defeituoso.
  • $ P(D|F_2) $ é a probabilidade de defeito na fábrica II.
  • $ P(F_2) $ é a probabilidade de o produto vir da fábrica II.
  • $ P(D) $ já calculamos na parte a).

Passo 6

Substituindo os valores:
P(F2|D) = 0,015 times 0,450,02025 = 0,006750,02025 approx 0,3333
Convertendo para porcentagem:
0,3333 times 100 approx 33,33%
Então, a probabilidade de que um produto defeituoso tenha sido produzido na fábrica II é de 33,33%.

Resposta

a) A probabilidade de encontrar um produto defeituoso na inspeção é de 2,025%.
b) Se um produto defeituoso for encontrado, a probabilidade de ele ter sido produzido na fábrica II é de 33,33%.

Exercícios relacionados