Quando tratamos de doenças sérias, muitos médicos pedem ao paciente que tenha apresentado diagnóstico positivo em determinado exame que o refaça em outro laboratório para confirmar tal resultado. Imaginando essa situação, crie hipoteticamente dois laboratórios: o laboratório A, que dá resultado positivo para
dos portadores da doença e resultado positivo para
dos sãos. O laboratório B dá resultado positivo para
dos portadores da doença e resultado positivo para
dos sãos. Imaginando que a chance de um indivíduo qualquer ter essa doença é de
e que os resultados dos laboratórios são independentes tanto para indivíduos doentes como para indivíduos sãos:
a) Qual é a chance de um indivíduo qualquer obter resultado positivo pelos dois laboratórios?
b) Se um indivíduo enfermo fizer teste em somente um laboratório (considere que a chance de ser o laboratório A é igual a chance de ser o B), qual é a chance de obter resultado negativo?
a) Qual é a chance de um indivíduo qualquer obter resultado positivo pelos dois laboratórios?
b) Se um indivíduo enfermo fizer teste em somente um laboratório (considere que a chance de ser o laboratório A é igual a chance de ser o B), qual é a chance de obter resultado negativo?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre testes de laboratório para uma doença. Basicamente, temos dois laboratórios, A e B, com diferentes taxas de acerto e erro nos resultados. Também sabemos que a chance de qualquer pessoa ter essa doença é de 15%. Vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente considerando eventos independentes, para resolver as questões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os dados:
-
Laboratório A:
- Verdadeiro Positivo (VP): 80% dos doentes são corretamente identificados como positivos.
- Falso Positivo (FP): 10% dos saudáveis são incorretamente identificados como positivos.
-
Laboratório B:
- Verdadeiro Positivo (VP): 70% dos doentes são corretamente identificados como positivos.
- Falso Positivo (FP): 5% dos saudáveis são incorretamente identificados como positivos.
A chance de uma pessoa qualquer ter a doença é de 15%, ou seja, $ P(D) = 0,15 $, e, portanto, a chance de ser saudável é $ P(S) = 1 - P(D) = 0,85 $.
Passo 3
Parte a): Queremos encontrar a chance de um indivíduo obter resultado positivo nos dois laboratórios.
Como os resultados dos laboratórios são independentes, a probabilidade conjunta de dois eventos independentes é o produto das probabilidades de cada evento.
Vamos calcular para dois casos: a pessoa é doente e a pessoa é saudável.
-
Pessoa Doente:
- Probabilidade de ser positiva no Lab A: $ P(A+|D) = 0,80 $
- Probabilidade de ser positiva no Lab B: $ P(B+|D) = 0,70 $
- Probabilidade conjunta: $ 0,80 \times 0,70 = 0,56 $
-
Pessoa Saudável:
- Probabilidade de ser positiva no Lab A: $ P(A+|S) = 0,10 $
- Probabilidade de ser positiva no Lab B: $ P(B+|S) = 0,05 $
- Probabilidade conjunta: $ 0,10 \times 0,05 = 0,005 $
Agora, usamos a Regra da Probabilidade Total:
Substituindo os valores:
Passo 4
Parte b): Se uma pessoa doente fizer teste em somente um laboratório, qual é a chance de obter resultado negativo? Sabemos que a chance de escolher o laboratório A ou B é igual, ou seja, 50% para cada.
Vamos calcular a probabilidade de obter um resultado negativo em cada laboratório:
-
Laboratório A:
- Probabilidade de ser negativa dado que a pessoa é doente: $ P(A- | D) = 1 - P(A+ | D) = 1 - 0,80 = 0,20 $
-
Laboratório B:
- Probabilidade de ser negativa dado que a pessoa é doente: $ P(B- | D) = 1 - P(B+ | D) = 1 - 0,70 = 0,30 $
Como a escolha do laboratório é aleatória e tem igual probabilidade, a chance total de obter um resultado negativo é a média das duas probabilidades:
Resposta
a) A chance de um indivíduo obter resultado positivo nos dois laboratórios é de aproximadamente 8,825%.
b) A chance de um indivíduo doente obter resultado negativo em um dos laboratórios é de 25%.