Em recente estudo governamental, mediu-se o coeficiente de absorção da luz de aerossol ( em Mm^-1 ) em localizaçōes selecionadas aleatoriamente na Åfrica e na América do Sul. Os dados estão resumidos na tabela abaixo. Há alguma evidência de que a variância populacional no coeficiente da luz de aerossol seja maior na Åfrica do que na América do Sul? Use alpha=0,05 e admita normalidade.
Continente tamanho amostral variância amostral
África 10 243,36
América do Sul 21 51,84

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente quer saber se a variância do coeficiente de absorção da luz de aerossol é maior na África do que na América do Sul. Estamos trabalhando com variâncias de duas amostras diferentes e queremos comparar elas usando um teste estatístico. Para isso, vamos precisar usar o teste F, que é usado especificamente para comparar variâncias de duas populações. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo as nossas hipóteses. A hipótese nula ( H0) é que a variância na África ( sigma1^2) é menor ou igual à variância na América do Sul ( sigma2^2). A hipótese alternativa ( H1) é que a variância na África é maior que na América do Sul. Em termos matemáticos, fica assim:
H0: sigma1^2 <= sigma2^2
H1: sigma1^2 > sigma2^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o estatístico de teste F. Esse teste compara as duas variâncias amostrais. A fórmula para o F é:
F = S1^2S2^2
Onde S1^2 é a variância amostral da África e S2^2 é a variância amostral da América do Sul.

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos na tabela:
F = 243,3651,84 approx 4,696

Passo 5

Precisamos agora encontrar o valor crítico da distribuição F para o nosso nível de significância ( alpha = 0,05). As graus de liberdade são df1 = n1 - 1 = 10 - 1 = 9 para a África e df2 = n2 - 1 = 21 - 1 = 20 para a América do Sul. Consultando uma tabela F ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico Fcr para df1=9 e df2=20 com alpha=0,05 é aproximadamente 2,68.

Passo 6

Comparamos o nosso valor calculado de F com o valor crítico:
4,696 > 2,68
Isso significa que nosso estatístico de teste está na região de rejeição.

Passo 7

Como o valor de F calculado é maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Há evidência estatística, com nível de significância de 5%, de que a variância do coeficiente de absorção da luz de aerossol é maior na África do que na América do Sul.

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