Uma companhia de refrigerantes está estudando a carga axial que pode ser aplicada a latas de alumínio mais fino antes de haver deformação. A distribuição de probabilidade dessa carga é desconhecida, porém sabe-se por estudos anteriores que o desvio padrão é de 17,5 libras. Uma amostra aleatória de 144 dessas latas forneceu uma carga axial média de 265 libras com desvio padrão de 18 libras. Deseja-se verificar, ao nível de significância de 0,03, se as latas de alumínio mais fino têm uma carga axial média menor que 270 libras, valor observado nas latas padrões.
c. Ao nível de significância 3 %, qual é conclusão?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que verificar se as latas de alumínio mais fino suportam uma carga axial média menor que 270 libras, que é o valor observado nas latas padrão. Isso envolve Estatística Inferencial, mais especificamente, um teste de hipóteses para a média. Para resolver, vamos precisar:
  • Média da amostra ( barx) = 265 libras
  • Média hipotética ( mu0) = 270 libras
  • Desvio padrão populacional ( sigma) = 17,5 libras
  • Tamanho da amostra ( n) = 144
  • Nível de significância ( alpha) = 3% ou 0,03

Passo 2

Primeiro, estabelecemos as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula ( H0): A carga axial média das latas mais finas é igual a 270 libras. ( mu = 270)
  • Hipótese Alternativa ( H1): A carga axial média das latas mais finas é menor que 270 libras. ( mu < 270)

Passo 3

Como conhecemos o desvio padrão populacional e temos uma amostra grande ( n = 144), podemos usar o teste z para comparar a média da amostra com a média hipotética.
A fórmula do teste z é:
z = barx - mu0sigmaraizn
Substituindo os valores:
z = 265 - 27017,5raiz144 = -517,512 = -51,4583 approx -3,43

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico de z para o nível de significância de 3% em um teste unilateral à esquerda. Consultando a tabela z, sabemos que:
  • Para alpha = 0,03, o valor crítico de z é aproximadamente -1,88

Passo 5

Comparamos o valor calculado de z (-3,43) com o valor crítico (-1,88):
  • -3,43 < -1,88
Isso significa que o valor de z está na região de rejeição da hipótese nula.

Passo 6

Como o valor calculado de z está abaixo do valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Ao nível de significância de 3%, concluímos que as latas de alumínio mais fino têm uma carga axial média menor que 270 libras.

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