Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que um a pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de
. Calcular a probabilidade de que, daqui a 30 anos :
a) exatamente duas pessoas estejam vivas;
b) todas as pessoas estejam vivas;
c) pelo menos 3 pessoas estejam vivas;
Indique as suposições necessárias para a aplicação do modelo binomial.
Determine o número esperado de pessoas vivas daqui a 30 anos e a variância.
a) exatamente duas pessoas estejam vivas;
b) todas as pessoas estejam vivas;
c) pelo menos 3 pessoas estejam vivas;
Indique as suposições necessárias para a aplicação do modelo binomial.
Determine o número esperado de pessoas vivas daqui a 30 anos e a variância.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! Uma companhia de seguros vendeu apólices para cinco pessoas que têm a mesma idade e estão com boa saúde. Segundo as tábuas atuariais, a chance de cada pessoa estar viva daqui a 30 anos é de
. Vamos usar o modelo binomial para resolver as questões, porque temos um número fixo de tentativas (5 pessoas), cada uma tem dois possíveis resultados (viva ou morta), e as probabilidades são as mesmas para cada pessoa.
Passo 2
a) Exatamente duas pessoas estejam vivas
Vamos calcular a probabilidade de exatamente 2 das 5 pessoas estarem vivas daqui a 30 anos. No modelo binomial, a fórmula é:
Onde:
-
(número de pessoas) -
(número de pessoas vivas) -
(probabilidade de uma pessoa estar viva)
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial
:
Agora, aplicamos na fórmula:
Passo 3
b) Todas as pessoas estejam vivas
Aqui, queremos a probabilidade de todas as 5 pessoas estarem vivas. Usamos a mesma fórmula binomial:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:
Passo 4
c) Pelo menos 3 pessoas estejam vivas
Queremos a probabilidade de 3, 4 ou 5 pessoas estarem vivas. Podemos calcular isso somando as probabilidades individuais:
Vamos calcular cada uma:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Já calculamos anteriormente:
Agora somamos:
Passo 5
Supondo as suposições do modelo binomial
Para aplicar o modelo binomial a esse problema, precisamos assumir que:
- Número fixo de tentativas: Temos 5 pessoas, ou seja, 5 tentativas.
- Resultados binários: Cada pessoa pode estar viva ou morta daqui a 30 anos.
- Independência: O estado de uma pessoa não afeta o estado das outras.
- Probabilidade constante: A chance de uma pessoa estar viva é sempre
.
Passo 6
Número esperado e variância
No modelo binomial, o número esperado
e a variância
são dados por:
Onde:
Calculando:
Resposta
a) A probabilidade de exatamente duas pessoas estarem vivas é aproximadamente 0,1646.
b) A probabilidade de todas as pessoas estarem vivas é aproximadamente 0,1317.
c) A probabilidade de pelo menos 3 pessoas estarem vivas é aproximadamente 0,7901.
As suposições para aplicar o modelo binomial são:
- Número fixo de tentativas (5 pessoas).
- Resultados binários (viva ou morta).
- Independência entre as tentativas.
- Probabilidade constante de sucesso (
).
O número esperado de pessoas vivas daqui a 30 anos é 3,33 e a variância é 1,11.