Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que um a pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de . Calcular a probabilidade de que, daqui a 30 anos :
a) exatamente duas pessoas estejam vivas;
b) todas as pessoas estejam vivas;
c) pelo menos 3 pessoas estejam vivas;
Indique as suposições necessárias para a aplicação do modelo binomial.
Determine o número esperado de pessoas vivas daqui a 30 anos e a variância.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! Uma companhia de seguros vendeu apólices para cinco pessoas que têm a mesma idade e estão com boa saúde. Segundo as tábuas atuariais, a chance de cada pessoa estar viva daqui a 30 anos é de . Vamos usar o modelo binomial para resolver as questões, porque temos um número fixo de tentativas (5 pessoas), cada uma tem dois possíveis resultados (viva ou morta), e as probabilidades são as mesmas para cada pessoa.

Passo 2

a) Exatamente duas pessoas estejam vivas
Vamos calcular a probabilidade de exatamente 2 das 5 pessoas estarem vivas daqui a 30 anos. No modelo binomial, a fórmula é:
Onde:
  • (número de pessoas)
  • (número de pessoas vivas)
  • (probabilidade de uma pessoa estar viva)
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial :
Agora, aplicamos na fórmula:

Passo 3

b) Todas as pessoas estejam vivas
Aqui, queremos a probabilidade de todas as 5 pessoas estarem vivas. Usamos a mesma fórmula binomial:
Calculando o coeficiente binomial:
Então:

Passo 4

c) Pelo menos 3 pessoas estejam vivas
Queremos a probabilidade de 3, 4 ou 5 pessoas estarem vivas. Podemos calcular isso somando as probabilidades individuais:
Vamos calcular cada uma:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Já calculamos anteriormente:
Agora somamos:

Passo 5

Supondo as suposições do modelo binomial
Para aplicar o modelo binomial a esse problema, precisamos assumir que:
  1. Número fixo de tentativas: Temos 5 pessoas, ou seja, 5 tentativas.
  2. Resultados binários: Cada pessoa pode estar viva ou morta daqui a 30 anos.
  3. Independência: O estado de uma pessoa não afeta o estado das outras.
  4. Probabilidade constante: A chance de uma pessoa estar viva é sempre .

Passo 6

Número esperado e variância
No modelo binomial, o número esperado e a variância são dados por:
Onde:
Calculando:

Resposta

a) A probabilidade de exatamente duas pessoas estarem vivas é aproximadamente 0,1646.
b) A probabilidade de todas as pessoas estarem vivas é aproximadamente 0,1317.
c) A probabilidade de pelo menos 3 pessoas estarem vivas é aproximadamente 0,7901.
As suposições para aplicar o modelo binomial são:
  1. Número fixo de tentativas (5 pessoas).
  2. Resultados binários (viva ou morta).
  3. Independência entre as tentativas.
  4. Probabilidade constante de sucesso ( ).
O número esperado de pessoas vivas daqui a 30 anos é 3,33 e a variância é 1,11.

Exercícios relacionados

Considere as seguintes variáveis aleatórias:
: número de pontos da face voltada para cima no lançamento de um dado;
Z: v.a. que assume os valores 1 ou 0 conforme o resultado do lançamento de um dado seja 5 ou não;
W: número de peças defeituosas dentre cinco selecionadas, com reposição, da produção diária de uma fábrica;
S: número de chamadas telefônicas que chegam ao posto de emergência dos bombeiros a cada 5 minutos;
T: v.a. que assume os valores 1 ou 0 conforme a peça escolhida para ser inspecionada em uma linha de produção seja defeituosa ou perfeita;
R: número de lâmpadas defeituosas dentre 4 selecionadas ao acaso, sem reposição, de uma caixa contendo 6 lâmpadas defeituosas e 8 perfeitas;
U: número de filhos do sexo masculino de uma família com 4 crianças selecionada ao acaso de uma população;
V: número de defeitos por 100 metros de tecido fabricado;
Y: número do aluno sorteado ao acaso dentre os 10 alunos de uma turma;
Especifique o contradomínio das variáveis aleatórias acima.
Você pode perceber que embora as situações sejam diferentes, algumas variáveis apresentam características comuns. Agrupe estas variáveis aleatórias.
Suponha que as notas de um vestibular tenham distribuição normal com média 60 pontos e desvio padrão 15 pontos.
a) Se você prestou este vestibular e obteve nota , qual a sua posição relativa, em unidades de desvio padrão, com relação a média das notas?
Suponha-se uma urna com 1 bola branca e 4 vermelhas da qual é retirada 1 bola. Qual a probalidade da bola retirada ser vermelha? Determine a expectância e variância da variável aleatória definida.
As chamadas de emergência chegam a um Pronto de Socorro numa média de 4 por hora. Qual a probabilidade de ocorrem 2 chamadas em uma hora?