Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que um a pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de 2 / 3. Calcular a probabilidade de que, daqui a 30 anos :
a) exatamente duas pessoas estejam vivas;
b) todas as pessoas estejam vivas;
c) pelo menos 3 pessoas estejam vivas;
Indique as suposições necessárias para a aplicação do modelo binomial.
Determine o número esperado de pessoas vivas daqui a 30 anos e a variância.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! Uma companhia de seguros vendeu apólices para cinco pessoas que têm a mesma idade e estão com boa saúde. Segundo as tábuas atuariais, a chance de cada pessoa estar viva daqui a 30 anos é de . Vamos usar o modelo binomial para resolver as questões, porque temos um número fixo de tentativas (5 pessoas), cada uma tem dois possíveis resultados (viva ou morta), e as probabilidades são as mesmas para cada pessoa.

Passo 2

a) Exatamente duas pessoas estejam vivas
Vamos calcular a probabilidade de exatamente 2 das 5 pessoas estarem vivas daqui a 30 anos. No modelo binomial, a fórmula é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • binom52 = 5!2!(5-2)! = 5 times 42 times 1 = 10 (número de pessoas)
  • P(X = 2) = 10 times (23)^2 times (13)^3 = 10 times 49 times 127 = 10 times 4243 = 40243 approx 0,1646 (número de pessoas vivas)
  • (probabilidade de uma pessoa estar viva)
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial :
Agora, aplicamos na fórmula:

Passo 3

b) Todas as pessoas estejam vivas
Aqui, queremos a probabilidade de todas as 5 pessoas estarem vivas. Usamos a mesma fórmula binomial:
P(X = 5) = binom55 (23)^5 (13)^0
Calculando o coeficiente binomial:
binom55 = 1
Então:
P(X = 5) = 1 times (23)^5 times 1 = (32243) approx 0,1317

Passo 4

c) Pelo menos 3 pessoas estejam vivas
Queremos a probabilidade de 3, 4 ou 5 pessoas estarem vivas. Podemos calcular isso somando as probabilidades individuais:
P(X >= 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
Vamos calcular cada uma:
  • Para binom53 = 10 :
P(X = 3) = 10 times (23)^3 times (13)^2 = 10 times 827 times 19 = 80243
binom54 = 5
  • Para P(X = 4) = 5 times (23)^4 times (13)^1 = 5 times 1681 times 13 = 80243 :
P(X = 5) = 32243
P(X >= 3) = 80243 + 80243 + 32243 = 192243 = 6481 approx 0,7901
  • Para :
Já calculamos anteriormente:
Agora somamos:

Passo 5

Supondo as suposições do modelo binomial
Para aplicar o modelo binomial a esse problema, precisamos assumir que:
  1. Número fixo de tentativas: Temos 5 pessoas, ou seja, 5 tentativas.
  2. Resultados binários: Cada pessoa pode estar viva ou morta daqui a 30 anos.
  3. Independência: O estado de uma pessoa não afeta o estado das outras.
  4. Probabilidade constante: A chance de uma pessoa estar viva é sempre .

Passo 6

Número esperado e variância
No modelo binomial, o número esperado E(X) = n times p e a variância Var(X) = n times p times (1 - p) são dados por:
E(X) = 5 times 23 = 103 approx 3,33
Var(X) = 5 times 23 times 13 = 109 approx 1,11
Onde:
Calculando:

Resposta

a) A probabilidade de exatamente duas pessoas estarem vivas é aproximadamente 0,1646.
b) A probabilidade de todas as pessoas estarem vivas é aproximadamente 0,1317.
c) A probabilidade de pelo menos 3 pessoas estarem vivas é aproximadamente 0,7901.
As suposições para aplicar o modelo binomial são:
  1. Número fixo de tentativas (5 pessoas).
  2. Resultados binários (viva ou morta).
  3. Independência entre as tentativas.
  4. Probabilidade constante de sucesso ( ).
O número esperado de pessoas vivas daqui a 30 anos é 3,33 e a variância é 1,11.

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