Suponha-se uma urna com 1 bola branca e 4 vermelhas da qual é retirada 1 bola. Qual a probalidade da bola retirada ser vermelha? Determine a expectância e variância da variável aleatória definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 1 bola branca e 4 vermelhas. A gente precisa descobrir qual a probabilidade de tirar uma bola vermelha. Além disso, vamos calcular a expectância (que é como a média esperada) e a variância (que mostra o quanto os resultados variam em torno dessa média) da variável aleatória que define esse sorteio. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a probabilidade. Probabilidade é uma medida de quão provável é que um evento aconteça. Quando temos um conjunto de resultados possíveis, a probabilidade de um evento específico é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis.
Passo 3
No nosso caso, a urna tem 1 bola branca e 4 vermelhas, totalizando 5 bolas. Queremos saber a probabilidade de tirar uma bola vermelha. Então, os resultados favoráveis são as 4 bolas vermelhas.
Passo 4
Aplicando a fórmula da probabilidade:
Então, a probabilidade de tirar uma bola vermelha é
ou 80%.
Passo 5
Agora, vamos definir a variável aleatória. Vamos chamar de
a variável que representa o evento de tirar uma bola vermelha. Podemos definir
da seguinte forma:
Isso significa que
vale 1 se tirarmos uma bola vermelha e 0 se tirarmos a branca.
Passo 6
A esperança matemática (ou expectância) de
é a média ponderada dos possíveis valores de
, ponderada pelas suas probabilidades. A fórmula é:
No nosso caso:
Então, a esperança de
é
.
Passo 7
A variância de
mede o quanto os valores de
se espalham em relação à média (expectância). A fórmula é:
Primeiro, calculamos
:
Agora, usamos a fórmula da variância:
Então, a variância de
é
.
Resposta
A probabilidade de tirar uma bola vermelha é
. A expectância da variável aleatória é
e a variância é
.