Suponha-se uma urna com 1 bola branca e 4 vermelhas da qual é retirada 1 bola. Qual a probalidade da bola retirada ser vermelha? Determine a expectância e variância da variável aleatória definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 1 bola branca e 4 vermelhas. A gente precisa descobrir qual a probabilidade de tirar uma bola vermelha. Além disso, vamos calcular a expectância (que é como a média esperada) e a variância (que mostra o quanto os resultados variam em torno dessa média) da variável aleatória que define esse sorteio. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade. Probabilidade é uma medida de quão provável é que um evento aconteça. Quando temos um conjunto de resultados possíveis, a probabilidade de um evento específico é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis.

Passo 3

No nosso caso, a urna tem 1 bola branca e 4 vermelhas, totalizando 5 bolas. Queremos saber a probabilidade de tirar uma bola vermelha. Então, os resultados favoráveis são as 4 bolas vermelhas.

Passo 4

Aplicando a fórmula da probabilidade:
P(vermelha) = número de bolas vermelhasnúmero total de bolas = 45 úú
Então, a probabilidade de tirar uma bola vermelha é 45 ou 80%.

Passo 5

Agora, vamos definir a variável aleatória. Vamos chamar de X = 1, & se a bola for vermelha 0, & se a bola for branca a variável que representa o evento de tirar uma bola vermelha. Podemos definir da seguinte forma:
Isso significa que vale 1 se tirarmos uma bola vermelha e 0 se tirarmos a branca.

Passo 6

A esperança matemática (ou expectância) de E(X) = sum x cdot P(x) é a média ponderada dos possíveis valores de E(X) = (1) cdot P(vermelha) + (0) cdot P(branca) = 1 cdot 45 + 0 cdot 15 = 45 , ponderada pelas suas probabilidades. A fórmula é:
45
No nosso caso:
Então, a esperança de é .

Passo 7

A variância de Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 mede o quanto os valores de E(X^2) = (1)^2 cdot 45 + (0)^2 cdot 15 = 1 cdot 45 + 0 cdot 15 = 45 se espalham em relação à média (expectância). A fórmula é:
Var(X) = 45 - (45)^2 = 45 - 1625 = 2025 - 1625 = 425
Primeiro, calculamos 425:
Agora, usamos a fórmula da variância:
Então, a variância de é .

Resposta

A probabilidade de tirar uma bola vermelha é 45. A expectância da variável aleatória é 45 e a variância é 425.

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