Suponha-se uma urna com 1 bola branca e 4 vermelhas da qual é retirada 1 bola. Qual a probalidade da bola retirada ser vermelha? Determine a expectância e variância da variável aleatória definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma urna com 1 bola branca e 4 vermelhas. A gente precisa descobrir qual a probabilidade de tirar uma bola vermelha. Além disso, vamos calcular a expectância (que é como a média esperada) e a variância (que mostra o quanto os resultados variam em torno dessa média) da variável aleatória que define esse sorteio. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a probabilidade. Probabilidade é uma medida de quão provável é que um evento aconteça. Quando temos um conjunto de resultados possíveis, a probabilidade de um evento específico é o número de resultados favoráveis dividido pelo número total de resultados possíveis.
Passo 3
No nosso caso, a urna tem 1 bola branca e 4 vermelhas, totalizando 5 bolas. Queremos saber a probabilidade de tirar uma bola vermelha. Então, os resultados favoráveis são as 4 bolas vermelhas.
Passo 4
Aplicando a fórmula da probabilidade:
Então, a probabilidade de tirar uma bola vermelha é
ou 80%.
Passo 5
Agora, vamos definir a variável aleatória. Vamos chamar de
a variável que representa o evento de tirar uma bola vermelha. Podemos definir
da seguinte forma:
Isso significa que
vale 1 se tirarmos uma bola vermelha e 0 se tirarmos a branca.
Passo 6
A esperança matemática (ou expectância) de
é a média ponderada dos possíveis valores de
, ponderada pelas suas probabilidades. A fórmula é:
No nosso caso:
Então, a esperança de
é
.
Passo 7
A variância de
mede o quanto os valores de
se espalham em relação à média (expectância). A fórmula é:
Primeiro, calculamos
:
Agora, usamos a fórmula da variância:
Então, a variância de
é
.
Resposta
A probabilidade de tirar uma bola vermelha é
. A expectância da variável aleatória é
e a variância é
.
Exercícios relacionados
Uma companhia de seguros vendeu apólices a cinco pessoas, todas da mesma idade e com boa saúde. De acordo com as tábuas atuariais, a probabilidade de que um a pessoa daquela idade esteja viva daqui a 30 anos é de
. Calcular a probabilidade de que, daqui a 30 anos :
a) exatamente duas pessoas estejam vivas;
b) todas as pessoas estejam vivas;
c) pelo menos 3 pessoas estejam vivas;
Indique as suposições necessárias para a aplicação do modelo binomial.
Determine o número esperado de pessoas vivas daqui a 30 anos e a variância.
a) exatamente duas pessoas estejam vivas;
b) todas as pessoas estejam vivas;
c) pelo menos 3 pessoas estejam vivas;
Indique as suposições necessárias para a aplicação do modelo binomial.
Determine o número esperado de pessoas vivas daqui a 30 anos e a variância.
Considere as seguintes variáveis aleatórias:
: número de pontos da face voltada para cima no lançamento de um dado;
Z: v.a. que assume os valores 1 ou 0 conforme o resultado do lançamento de um dado seja 5 ou não;
W: número de peças defeituosas dentre cinco selecionadas, com reposição, da produção diária de uma fábrica;
S: número de chamadas telefônicas que chegam ao posto de emergência dos bombeiros a cada 5 minutos;
T: v.a. que assume os valores 1 ou 0 conforme a peça escolhida para ser inspecionada em uma linha de produção seja defeituosa ou perfeita;
R: número de lâmpadas defeituosas dentre 4 selecionadas ao acaso, sem reposição, de uma caixa contendo 6 lâmpadas defeituosas e 8 perfeitas;
U: número de filhos do sexo masculino de uma família com 4 crianças selecionada ao acaso de uma população;
V: número de defeitos por 100 metros de tecido fabricado;
Y: número do aluno sorteado ao acaso dentre os 10 alunos de uma turma;
Especifique o contradomínio das variáveis aleatórias acima.
Você pode perceber que embora as situações sejam diferentes, algumas variáveis apresentam características comuns. Agrupe estas variáveis aleatórias.
Z: v.a. que assume os valores 1 ou 0 conforme o resultado do lançamento de um dado seja 5 ou não;
W: número de peças defeituosas dentre cinco selecionadas, com reposição, da produção diária de uma fábrica;
S: número de chamadas telefônicas que chegam ao posto de emergência dos bombeiros a cada 5 minutos;
T: v.a. que assume os valores 1 ou 0 conforme a peça escolhida para ser inspecionada em uma linha de produção seja defeituosa ou perfeita;
R: número de lâmpadas defeituosas dentre 4 selecionadas ao acaso, sem reposição, de uma caixa contendo 6 lâmpadas defeituosas e 8 perfeitas;
U: número de filhos do sexo masculino de uma família com 4 crianças selecionada ao acaso de uma população;
V: número de defeitos por 100 metros de tecido fabricado;
Y: número do aluno sorteado ao acaso dentre os 10 alunos de uma turma;
Especifique o contradomínio das variáveis aleatórias acima.
Você pode perceber que embora as situações sejam diferentes, algumas variáveis apresentam características comuns. Agrupe estas variáveis aleatórias.
As chamadas de emergência chegam a um Pronto de Socorro numa média de 4 por hora. Qual a probabilidade de ocorrem 2 chamadas em uma hora?
Suponha que as notas
de um vestibular tenham distribuição normal com média 60 pontos e desvio padrão 15 pontos.
b) Se foram considerados aprovados os candidatos que obtiveram nota mínima correspondentes a 1 (um) desvio padrão acima da média, qual a nota mínima de aprovação na escola original ?
b) Se foram considerados aprovados os candidatos que obtiveram nota mínima correspondentes a 1 (um) desvio padrão acima da média, qual a nota mínima de aprovação na escola original ?