A companhia telktronic compra grandes carregamentos de lâmpadas e usa o seguinte plano de amostragem de aceitação : seleciona aleatoriamente e testa 24 lâmpadas, e aceita o lote todo se há apenas uma ou nenhuma lâmpada que não funcione. Se um carregamento de milhares de lâmpadas tem uma taxa de 4% de defeituosas, qual é a probabilidade de que o carregamento todo seja aceito.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A companhia Telktronic compra um monte de lâmpadas e quer ter certeza de que a maioria delas está funcionando. Para isso, eles pegam uma amostra aleatória de 24 lâmpadas e só aceitam todo o carregamento se tiverem no máximo uma lâmpada defeituosa. Sabemos que, em geral, 4% das lâmpadas são defeituosas. Vamos usar conceitos de probabilidade para descobrir qual a chance de o carregamento inteiro ser aceito.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual conceito de probabilidade aplicar aqui. Como estamos lidando com uma amostra de um grande número de lâmpadas (milhares) e queremos saber a probabilidade de ter exatamente 0 ou 1 lâmpada defeituosa na amostra de 24, vamos usar a Distribuição Binomial. Essa distribuição é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (as lâmpadas testadas), cada uma com duas possibilidades de resultado (funciona ou não funciona).

Passo 3

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • (número de lâmpadas testadas)
  • é o número de lâmpadas defeituosas (0 ou 1 neste caso)
  • (probabilidade de uma lâmpada ser defeituosa)
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter sucessos em tentativas.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de não ter nenhuma lâmpada defeituosa ( P(X = 0) = binom240 times (0.04)^0 times (0.96)^24 ):
P(X = 0) = 1 times 1 times 0.96^24
Como e , simplificamos para:
Calculando , obtemos aproximadamente 0.3756.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente uma lâmpada defeituosa ( P(X = 1) = binom241 times (0.04)^1 times (0.96)^23 ):
P(X = 1) = 24 times 0.04 times 0.96^23
Sabemos que P(X = 1) = 24 times 0.04 times 0.3913 approx 0.375 , então:
Calculando , temos aproximadamente 0.3913. Então:

Resposta

A probabilidade de que o carregamento todo seja aceito é aproximadamente 75%.

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