Em um jogo de loteria, um apostador seleciona seis números em 54 possíveis, e una combinação de seis números ganhadora é selecionada aleatoriamente. Ache a probabilidade de se obter:
c) Exatamente três dos seis números ganhadores

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem um jogo de loteria onde você escolhe 6 números dentre 54 possíveis. Depois, são sorteados 6 números ganhadores. A pergunta é: qual a probabilidade de você ter exatamente três desses seis números sorteados? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e combinações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quantas combinações possíveis existem quando você escolhe 6 números dentre 54. Isso é calculado pela combinação de 54 elementos tomados 6 a 6, que é representada por:
C(54,6) = 54!6! times (54-6)!

Passo 3

Agora, queremos saber de quantas formas você pode acertar exatamente 3 números dos 6 sorteados. Para isso, vamos dividir essa parte em duas etapas:
  1. Escolher 3 números acertados dentre os 6 sorteados.
  2. Escolher 3 números errados dentre os 54 - 6 = 48 que não foram sorteados.
Então, calculamos:
C(6,3) = 6!3! times (6-3)!
C(48,3) = 48!3! times (48-3)!

Passo 4

A combinação total de jeitos de acertar exatamente 3 números é o produto das combinações que acabamos de calcular:
C(6,3) times C(48,3)

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade, dividimos o número de combinações favoráveis pelo total de combinações possíveis:
P = C(6,3) times C(48,3)C(54,6)

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
C(6,3) = 6!3! times 3! = 20
C(48,3) = 48!3! times 45! = 17.296
C(54,6) = 54!6! times 48! = 25.827.165

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na fórmula da probabilidade:
P = 20 times 17.29625.827.165 approx 345.92025.827.165 approx 0,01338

Resposta

A probabilidade de acertar exatamente três dos seis números ganhadores é aproximadamente 1,34%.

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