Uma companhia de viagens está anunciando uma viagem em duas parcelas mensais e iguais a R$ 900,00 sob o regime de taxa de juros compostos de 6% a.m. Uma pessoa interessada em realizar essa viagem apresenta a proposta de pagá-la com uma entrada de R$ 600,00 e duas parcelas mensais e iguais a R$ 700,00 sob o mesmo regime de juros compostos. Determine a taxa de juros compostos mensal utilizado no cálculo da proposta. Escolha uma:
a. 15,23% a.m.
b. 32,51% a.m.
c. 21,53% a.m.
d. 53,25% a.m.
e. 31,25% a.m.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. A gente tem um exercício que envolve juros compostos, que é quando os juros são calculados sobre o valor inicial e também sobre os juros já acumulados. A situação é a seguinte:
  • Oferta da companhia de viagens: Duas parcelas mensais de R$ 900,00 com uma taxa de juros compostos de 6% ao mês.
  • Proposta da pessoa interessada: Pagar uma entrada de R$ 600,00 e duas parcelas mensais de R$ 700,00, também sob juros compostos.
Nosso objetivo é descobrir qual é a taxa de juros mensal que a pessoa está usando na proposta dela. Para isso, vamos precisar usar a fórmula dos juros compostos e igualar o valor presente das duas propostas para encontrar a taxa desconhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa juros compostos. A fórmula para calcular o montante $ M $ com juros compostos é:
M
Onde:
  • $ P $ é o valor principal (o valor inicial).
  • $ i $ é a taxa de juros por período.
  • $ n $ é o número de períodos.
No nosso caso, queremos comparar duas formas de pagamento e encontrar a taxa de juros que iguala as duas propostas.

Passo 3

Vamos calcular o valor presente (quanto vale hoje) de cada proposta para poder compará-las. A ideia é que o valor presente das duas propostas seja igual para que a taxa de juros seja a mesma.
Oferta da companhia:
  • Duas parcelas de R$ 900,00 com 6% de juros ao mês.
  • Vamos calcular o valor presente dessas duas parcelas.
A fórmula do valor presente $ PV $ para cada parcela é:
900,00 com 6% de juros ao mês - Vamos calcular o valor presente dessas duas parcelas A fórmula do valor presente
Onde:
  • $ FV $ é o valor futuro (a parcela).
  • $ i $ é a taxa de juros.
  • $ n $ é o número de períodos até o pagamento.
Para a primeira parcela (n=1):
para cada parcela é:
Para a segunda parcela (n=2):
PV = FV(1 + i)^n
Somando os dois valores presentes:
Onde: -

Passo 4

Proposta da pessoa interessada:
  • Entrada de R$ 600,00.
  • Duas parcelas de R$ 700,00 com uma taxa de juros desconhecida $ j $.
Vamos calcular o valor presente dessa proposta usando a mesma ideia.
Primeiro, já temos a entrada de R$ 600,00, que já está no valor presente.
Agora, para as duas parcelas:
Para a primeira parcela (n=1):
600,00 - Duas parcelas de R
Para a segunda parcela (n=2):
j
Somando tudo:
600,00, que já está no valor presente Agora, para as duas parcelas: Para a primeira parcela (n=1):

Passo 5

Agora, queremos que o valor presente da proposta seja igual ao da oferta da companhia:
1.650,67 = 600 + 7001 + j + 700(1 + j)^2
Vamos simplificar a equação:
1.650,67 - 600 = 7001 + j + 700(1 + j)^2
1.050,67 = 700 (1 + j) + 700(1 + j)^2
Multiplicando ambos os lados por $ (1 + j)^2 $:
(1 + j)^2
Expandindo:
1.050,67 (1 + j)^2 = 700 (1 + j) + 700
1.050,67 (1 + 2j + j^2) = 700 + 700j + 700
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
1.050,67 + 2.101,34j + 1.050,67j^2 = 1.400 + 700j
1.050,67j^2 + 2.101,34j + 1.050,67 - 1.400 - 700j = 0

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática na forma:
a j^2 + b j + c = 0
Onde:
  • $ a = 1.050,67 $
  • $ b = 1.401,34 $
  • $ c = -349,33 $
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de $ j $:
a = 1.050,67
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
b = 1.401,34
c = -349,33
Agora, aplicando na fórmula:
j
j = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos considerar apenas a raiz positiva, já que taxa de juros não pode ser negativa:
De

Resposta

A taxa de juros compostos mensal utilizada na proposta é 21,53% a.m. (alternativa c).

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