Uma companhia de viagens está anunciando uma viagem em duas parcelas mensais e iguais a R$ 900,00 sob o regime de taxa de juros compostos de 6% a.m. Uma pessoa interessada em realizar essa viagem apresenta a proposta de pagá-la com uma entrada de R$ 600,00 e duas parcelas mensais e iguais a R$ 700,00 sob o mesmo regime de juros compostos. Determine a taxa de juros compostos mensal utilizado no cálculo da proposta. Escolha uma:
a. 15,23% a.m.
b. 32,51% a.m.
c. 21,53% a.m.
d. 53,25% a.m.
e. 31,25% a.m.
a. 15,23% a.m.
b. 32,51% a.m.
c. 21,53% a.m.
d. 53,25% a.m.
e. 31,25% a.m.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui. A gente tem um exercício que envolve juros compostos, que é quando os juros são calculados sobre o valor inicial e também sobre os juros já acumulados. A situação é a seguinte:
- Oferta da companhia de viagens: Duas parcelas mensais de R$ 900,00 com uma taxa de juros compostos de 6% ao mês.
- Proposta da pessoa interessada: Pagar uma entrada de R$ 600,00 e duas parcelas mensais de R$ 700,00, também sob juros compostos.
Nosso objetivo é descobrir qual é a taxa de juros mensal que a pessoa está usando na proposta dela. Para isso, vamos precisar usar a fórmula dos juros compostos e igualar o valor presente das duas propostas para encontrar a taxa desconhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa juros compostos. A fórmula para calcular o montante $ M $ com juros compostos é:
Onde:
- $ P $ é o valor principal (o valor inicial).
- $ i $ é a taxa de juros por período.
- $ n $ é o número de períodos.
No nosso caso, queremos comparar duas formas de pagamento e encontrar a taxa de juros que iguala as duas propostas.
Passo 3
Vamos calcular o valor presente (quanto vale hoje) de cada proposta para poder compará-las. A ideia é que o valor presente das duas propostas seja igual para que a taxa de juros seja a mesma.
Oferta da companhia:
- Duas parcelas de R$ 900,00 com 6% de juros ao mês.
- Vamos calcular o valor presente dessas duas parcelas.
A fórmula do valor presente $ PV $ para cada parcela é:
Onde:
- $ FV $ é o valor futuro (a parcela).
- $ i $ é a taxa de juros.
- $ n $ é o número de períodos até o pagamento.
Para a primeira parcela (n=1):
Para a segunda parcela (n=2):
Somando os dois valores presentes:
Passo 4
Proposta da pessoa interessada:
- Entrada de R$ 600,00.
- Duas parcelas de R$ 700,00 com uma taxa de juros desconhecida $ j $.
Vamos calcular o valor presente dessa proposta usando a mesma ideia.
Primeiro, já temos a entrada de R$ 600,00, que já está no valor presente.
Agora, para as duas parcelas:
Para a primeira parcela (n=1):
Para a segunda parcela (n=2):
Somando tudo:
Passo 5
Agora, queremos que o valor presente da proposta seja igual ao da oferta da companhia:
Vamos simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por $ (1 + j)^2 $:
Expandindo:
Rearranjando para formar uma equação quadrática:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática na forma:
Onde:
- $ a = 1.050,67 $
- $ b = 1.401,34 $
- $ c = -349,33 $
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de $ j $:
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Agora, aplicando na fórmula:
Vamos considerar apenas a raiz positiva, já que taxa de juros não pode ser negativa:
Resposta
A taxa de juros compostos mensal utilizada na proposta é 21,53% a.m. (alternativa c).