Como se compara a energia necessária para colocar um satélite a uma certa altitude acima da superfície da Terra com a energia necessária para colocá-lo em órbita nessa altitude? Faça a comparação para as seguintes altitudes:
(a) 1600 km
(b) 3200 km
© 4800 km . Considere o raio da Terra sendo 6400 km .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para comparar a energia necessária para colocar um satélite a uma certa altitude acima da Terra com a energia necessária para colocá-lo em órbita nessa mesma altitude. Estamos falando de três altitudes diferentes: 1600 km, 3200 km e 4800 km.
Matéria envolvida: Energia gravitacional e energia cinética em órbita.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas de energia potencial gravitacional.
  • Fórmula da velocidade orbital.
  • Fórmula da energia cinética.
  • Valores do raio da Terra e das altitudes dadas.

Passo 2

Vamos começar calculando para a altitude de 1600 km.
Dados:
  • Raio da Terra, U = G cdot M cdot mR - G cdot M cdot mR + h km.
  • Altitude, U = 6.674 times 10^-11 cdot 5.972 times 10^24 cdot m6.4 times 10^6 - 6.674 times 10^-11 cdot 5.972 times 10^24 cdot m6.4 times 10^6 + 1.6 times 10^6 km.
  • Massa da Terra, v = raizG cdot MR + h kg.
  • Constante gravitacional, K = 12 m v^2 = 12 cdot G cdot M cdot mR + h .
  • Massa do satélite, Eorbita = U + K (vamos manter como variável para facilitar a comparação).
Energia para levantar o satélite até a altitude (Energia Potencial Gravitacional):
Substituindo os valores:
Energia para colocar o satélite em órbita (Energia Cinética Orbital):
Primeiro, calculamos a velocidade orbital:
Depois, a energia cinética:
Portanto, a energia total para colocar em órbita:

Passo 3

Agora, vamos para a altitude de 3200 km.
Dados:
  • Altitude, U = G cdot M cdot mR - G cdot M cdot mR + h km.
Energia para levantar o satélite até a altitude:
U = 6.674 times 10^-11 cdot 5.972 times 10^24 cdot m6.4 times 10^6 - 6.674 times 10^-11 cdot 5.972 times 10^24 cdot m6.4 times 10^6 + 3.2 times 10^6
Substituindo:
v = raiz6.674 times 10^-11 cdot 5.972 times 10^246.4 times 10^6 + 3.2 times 10^6
Energia para colocar o satélite em órbita:
K = 12 cdot 6.674 times 10^-11 cdot 5.972 times 10^24 cdot m6.4 times 10^6 + 3.2 times 10^6
Eorbita = U + K

Passo 4

Por fim, vamos para a altitude de 4800 km.
Dados:
  • Altitude, U = G cdot M cdot mR - G cdot M cdot mR + h km.
Energia para levantar o satélite até a altitude:
U = 6.674 times 10^-11 cdot 5.972 times 10^24 cdot m6.4 times 10^6 - 6.674 times 10^-11 cdot 5.972 times 10^24 cdot m6.4 times 10^6 + 4.8 times 10^6
Substituindo:
v = raiz6.674 times 10^-11 cdot 5.972 times 10^246.4 times 10^6 + 4.8 times 10^6
Energia para colocar o satélite em órbita:
K = 12 cdot 6.674 times 10^-11 cdot 5.972 times 10^24 cdot m6.4 times 10^6 + 4.8 times 10^6
Eorbita = U + K

Resposta

Comparando as energias para cada altitude:
  • 1600 km: A energia para colocar em órbita é maior que a energia apenas para levantar o satélite.
  • 3200 km: A diferença de energia entre colocar em órbita e apenas elevar aumenta.
  • 4800 km: A energia necessária para colocar em órbita é ainda maior comparada às altitudes anteriores.
Ou seja, quanto maior a altitude, maior a diferença entre a energia necessária para apenas elevar o satélite e a energia necessária para colocá-lo em órbita nessa altitude.

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