Na chamada Mecânica Generalizada as lagrangianas contém derivadas nas coordenadas generalizadas de ordem superior à primeira. Dada uma lagrangiana da forma : (a) Mostre que o princípio de Hamilton, com variação nula de e nos extremos temporais, dá lugar às equações de Lagrange na forma
(b) Mostre que a lagrangiana gera a equação de movimento de um oscilador harmônico. Prove que esta lagrangiana difere da lagrangiana usual de um oscilador harmônico por uma derivada total em relação ao tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Mecânica Generalizada, onde as lagrangianas podem ter derivadas de ordem superior das coordenadas generalizadas. Aqui, a matéria principal é Lagrangiana com derivadas até a segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender o princípio de Hamilton e as equações de Lagrange para lagrangianas que dependem de (a segunda derivada de ).
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício. Queremos mostrar que, usando o princípio de Hamilton com variações nulas de e nos extremos temporais, chegamos às equações de Lagrange na forma dada.
O princípio de Hamilton diz que a ação , que é a integral da lagrangiana ao longo do tempo, é estacionária para o caminho real seguido pelo sistema. Matematicamente:
Como depende de , e , precisamos calcular a variação .
Passo 3
Vamos calcular :
Agora, precisamos integrar por partes para eliminar os termos com variações de derivadas. Vamos começar com o termo que tem .
Passo 4
Integrando por partes o termo com :
Mas, como as variações e são nulas nos extremos ( e ), o termo de fronteira desaparece.
Passo 5
Agora, voltamos à expressão de com o termo integrado:
Vamos integrar por partes novamente o termo com :
Mais, novamente, as variações são nulas nos extremos, então o termo de fronteira some.
Passo 6
Finalmente, temos:
Como é arbitrária, para que seja válido para qualquer variação, o que está dentro do colchete deve ser zero:
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que a lagrangiana gera a equação de movimento de um oscilador harmônico e que ela difere da lagrangiana usual por uma derivada total em relação ao tempo.
Primeiro, vamos identificar a lagrangiana usual de um oscilador harmônico, que é:
Passo 8
Vamos calcular as equações de movimento usando a lagrangiana dada .
Note que há uma derivada de segunda ordem (). Aplicando a fórmula das equações de Lagrange que encontramos na parte (a):
Neste caso, é a coordenada generalizada e parece ser uma função externa.
Passo 9
Calculando as derivadas:
(já que não depende de )
(similarly)
Então, a equação de movimento fica:
Parece que houve um erro. Vamos reconsiderar.
Passo 10
Desculpe pelo mal-entendido. Parece que é uma função de , ou há uma confusão nos termos. Vamos reconsiderar a lagrangiana fornecida:
Para que isso gere as equações de movimento de um oscilador harmônico, devemos identificar como os termos se relacionam.
Passo 11
Vamos supor que é a posição, então , e reescrever a lagrangiana:
Agora, aplicando a fórmula das equações de Lagrange:
Passo 12
Calculando as derivadas:
(já que não depende de )
Então, a equação de movimento fica:
Calculando a segunda derivada:
Que é a equação de um oscilador harmônico!
Passo 13
Agora, vamos ver como essa lagrangiana difere da usual por uma derivada total. A lagrangiana usual é:
Vamos comparar com a lagrangiana dada:
A diferença está no termo . Vamos ver se isso é uma derivada total.
Passo 14
Consideremos a derivada total de :
Rearranjando:
Então, a lagrangiana dada pode ser escrita como:
Isso mostra que a lagrangiana fornecida difere da usual por uma derivada total em relação ao tempo.
Resposta
Através dos passos acima, demonstramos que:
(a) O princípio de Hamilton, com variações nulas de e nos extremos temporais, leva às equações de Lagrange na forma
(b) A lagrangiana gera a equação de movimento de um oscilador harmônico e difere da lagrangiana usual por uma derivada total em relação ao tempo.