Na chamada Mecânica Generalizada as lagrangianas contém derivadas nas coordenadas generalizadas de ordem superior à primeira. Dada uma lagrangiana da forma : (a) Mostre que o princípio de Hamilton, com variação nula de e nos extremos temporais, dá lugar às equações de Lagrange na forma
(b) Mostre que a lagrangiana gera a equação de movimento de um oscilador harmônico. Prove que esta lagrangiana difere da lagrangiana usual de um oscilador harmônico por uma derivada total em relação ao tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre Mecânica Generalizada, onde as lagrangianas podem ter derivadas de ordem superior das coordenadas generalizadas. Aqui, a matéria principal é Lagrangiana com derivadas até a segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender o princípio de Hamilton e as equações de Lagrange para lagrangianas que dependem de (a segunda derivada de ).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte (a) do exercício. Queremos mostrar que, usando o princípio de Hamilton com variações nulas de e nos extremos temporais, chegamos às equações de Lagrange na forma dada.
O princípio de Hamilton diz que a ação , que é a integral da lagrangiana ao longo do tempo, é estacionária para o caminho real seguido pelo sistema. Matematicamente:
Como depende de , e , precisamos calcular a variação .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, precisamos integrar por partes para eliminar os termos com variações de derivadas. Vamos começar com o termo que tem .

Passo 4

Integrando por partes o termo com :
Mas, como as variações e são nulas nos extremos ( e ), o termo de fronteira desaparece.

Passo 5

Agora, voltamos à expressão de com o termo integrado:
Vamos integrar por partes novamente o termo com :
Mais, novamente, as variações são nulas nos extremos, então o termo de fronteira some.

Passo 6

Finalmente, temos:
Como é arbitrária, para que seja válido para qualquer variação, o que está dentro do colchete deve ser zero:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que a lagrangiana gera a equação de movimento de um oscilador harmônico e que ela difere da lagrangiana usual por uma derivada total em relação ao tempo.
Primeiro, vamos identificar a lagrangiana usual de um oscilador harmônico, que é:

Passo 8

Vamos calcular as equações de movimento usando a lagrangiana dada .
Note que há uma derivada de segunda ordem ( ). Aplicando a fórmula das equações de Lagrange que encontramos na parte (a):
Neste caso, é a coordenada generalizada e parece ser uma função externa.

Passo 9

Calculando as derivadas:
  1. (já que não depende de )
  2. (similarly)
Então, a equação de movimento fica:
Parece que houve um erro. Vamos reconsiderar.

Passo 10

Desculpe pelo mal-entendido. Parece que é uma função de , ou há uma confusão nos termos. Vamos reconsiderar a lagrangiana fornecida:
Para que isso gere as equações de movimento de um oscilador harmônico, devemos identificar como os termos se relacionam.

Passo 11

Vamos supor que é a posição, então , e reescrever a lagrangiana:
Agora, aplicando a fórmula das equações de Lagrange:

Passo 12

Calculando as derivadas:
  1. (já que não depende de )
Então, a equação de movimento fica:
Calculando a segunda derivada:
Que é a equação de um oscilador harmônico!

Passo 13

Agora, vamos ver como essa lagrangiana difere da usual por uma derivada total. A lagrangiana usual é:
Vamos comparar com a lagrangiana dada:
A diferença está no termo . Vamos ver se isso é uma derivada total.

Passo 14

Consideremos a derivada total de :
Rearranjando:
Então, a lagrangiana dada pode ser escrita como:
Isso mostra que a lagrangiana fornecida difere da usual por uma derivada total em relação ao tempo.

Resposta

Através dos passos acima, demonstramos que:
(a) O princípio de Hamilton, com variações nulas de e nos extremos temporais, leva às equações de Lagrange na forma
(b) A lagrangiana gera a equação de movimento de um oscilador harmônico e difere da lagrangiana usual por uma derivada total em relação ao tempo.

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