No caso holônomo a técnica dos multiplicadores de Lagrange é dispensável em princípio, já que é possível escolher coordenadas generalizadas em termos das quais as equações de vínculo são identicamente satisfeitas. No entanto, na discussão de certas questões teóricas gerais é frequentemente vantajoso tratar vínculos holônomos pela técnica dos multiplicadores de Lagrange. Dados os vínculos holônomos fl(q, t)=0 com l=0, ldots, p e q=q1, ldots, qn, considere a nova lagrangiana L definida por
L=L(q, dotq, t)+suml=1^p lambdal fl(q, t)
Introduzindo as variáveis independentes zeta1, ldots, zetan+p, onde as n primeiras definem as coordenadas generalizadas e as p últimas os multiplicadores de Lagrange. Prove que as equações de movimento e as equações de vínculo podem ser escritas na forma unificada
dd t(partial Lpartial dotzetak)-partial Lpartial zetak=0 , k=1, ldots, n+p

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sistemas com vínculos holônomos, que são restrições que dependem apenas das coordenadas e possivelmente do tempo, mas não das velocidades. A questão envolve multiplicadores de Lagrange, uma técnica para lidar com essas restrições na Mecânica Lagrangiana. A gente vai precisar entender como montar a Lagrangiana aumentada e derivar as equações de movimento que satisfazem tanto as dinâmicas do sistema quanto as restrições impostas. Vamos seguir passo a passo para provar que as equações de movimento e de vínculo podem ser escritas de forma unificada usando essa Lagrangiana expandida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana padrão é dada por L = L(q, dotq, t) + suml=1^p lambdal fl(q, t) , onde são as coordenadas generalizadas e suas derivadas em relação ao tempo. Quando temos vínculos holônomos para , precisamos garantir que essas restrições sejam satisfeitas durante o movimento do sistema.
Para isso, introduzimos os multiplicadores de Lagrange e definimos uma nova Lagrangiana aumentada:
Essa nova Lagrangiana incorpora as restrições diretamente na função que usamos para derivar as equações de movimento.

Passo 3

Agora, vamos introduzir as variáveis independentes L = L(zeta1, ldots, zetan+p, dotzeta1, ldots, dotzetan+p, t) onde . As primeiras variáveis correspondem às coordenadas generalizadas , e as últimas variáveis correspondem aos multiplicadores de Lagrange .
Então, podemos reescrever a Lagrangiana aumentada em termos dessas novas variáveis:

Passo 4

A próxima etapa é aplicar o Princípio de Hamilton que nos diz que as equações de movimento são obtidas a partir das condições de estacionariedade da ação, ou seja, das derivadas parciais da Lagrangiana em relação às coordenadas e suas derivadas temporais.
Aplicando as Equações de Euler-Lagrange para cada ddt ( partial Lpartial dotzetak ) - partial Lpartial zetak = 0 para k = 1, ldots, n+p , temos:
Isso significa que para cada coordenada generalizada e para cada multiplicador de Lagrange, devemos satisfazer essa equação.

Passo 5

Vamos analisar o que essas equações significam para as primeiras ddt ( partial Lpartial dotqi + suml=1^p lambdal partial flpartial dotqi ) - ( partial Lpartial qi + suml=1^p lambdal partial flpartial qi ) = 0 variáveis ddt ( partial Lpartial dotqi ) - partial Lpartial qi = suml=1^p lambdal partial flpartial qi , que correspondem às coordenadas .
Para essas, a equação de Euler-Lagrange se torna:
Como os vínculos holônomos não dependem das velocidades , as derivadas parciais em relação a de são zero. Assim, a equação simplifica para:
Essa é a forma das Equações de Lagrange com Multiplicadores, que incorpora as restri��ões no movimento.

Passo 6

Agora, vamos olhar para as últimas ddt ( partial Lpartial dotlambdal ) - partial Lpartial lambdal = 0 equações, correspondentes aos multiplicadores de Lagrange - partial Lpartial lambdal = 0 Rightarrow fl(q, t) = 0 . Para cada , a equação de Euler-Lagrange é:
Como a Lagrangiana não depende das derivadas de (ou seja, ), o primeiro termo desaparece, e a equação fica:
Isso nos dá as Equações de Restrição, garantindo que os vínculos holônomos sejam satisfeitos.

Resposta

Assim, mostramos que ao introduzir os multiplicadores de Lagrange como variáveis independentes ddt(partial Lpartial dotzetak) - partial Lpartial zetak = 0 para k = 1, ldots, n+p , as Equações de Euler-Lagrange para unificam as equações de movimento e as equações de restrição:

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