No caso holônomo a técnica dos multiplicadores de Lagrange é dispensável em princípio, já que é possível escolher coordenadas generalizadas em termos das quais as equações de vínculo são identicamente satisfeitas. No entanto, na discussão de certas questões teóricas gerais é frequentemente vantajoso tratar vínculos holônomos pela técnica dos multiplicadores de Lagrange. Dados os vínculos holônomos
e
, considere a nova lagrangiana
definida por
Introduzindo as variáveis independentes
, onde as
primeiras definem as coordenadas generalizadas e as
últimas os multiplicadores de Lagrange. Prove que as equações de movimento e as equações de vínculo podem ser escritas na forma unificada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sistemas com vínculos holônomos, que são restrições que dependem apenas das coordenadas e possivelmente do tempo, mas não das velocidades. A questão envolve multiplicadores de Lagrange, uma técnica para lidar com essas restrições na Mecânica Lagrangiana. A gente vai precisar entender como montar a Lagrangiana aumentada e derivar as equações de movimento que satisfazem tanto as dinâmicas do sistema quanto as restrições impostas. Vamos seguir passo a passo para provar que as equações de movimento e de vínculo podem ser escritas de forma unificada usando essa Lagrangiana expandida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana padrão é dada por
, onde
são as coordenadas generalizadas e
suas derivadas em relação ao tempo. Quando temos vínculos holônomos
para
, precisamos garantir que essas restrições sejam satisfeitas durante o movimento do sistema.
Para isso, introduzimos os multiplicadores de Lagrange
e definimos uma nova Lagrangiana aumentada:
Essa nova Lagrangiana incorpora as restrições diretamente na função que usamos para derivar as equações de movimento.
Passo 3
Agora, vamos introduzir as variáveis independentes
onde
. As primeiras
variáveis
correspondem às coordenadas generalizadas
, e as últimas
variáveis
correspondem aos multiplicadores de Lagrange
.
Então, podemos reescrever a Lagrangiana aumentada em termos dessas novas variáveis:
Passo 4
A próxima etapa é aplicar o Princípio de Hamilton que nos diz que as equações de movimento são obtidas a partir das condições de estacionariedade da ação, ou seja, das derivadas parciais da Lagrangiana em relação às coordenadas e suas derivadas temporais.
Aplicando as Equações de Euler-Lagrange para cada
, temos:
Isso significa que para cada coordenada generalizada e para cada multiplicador de Lagrange, devemos satisfazer essa equação.
Passo 5
Vamos analisar o que essas equações significam para as primeiras
variáveis
, que correspondem às coordenadas
.
Para essas, a equação de Euler-Lagrange se torna:
Como os vínculos holônomos
não dependem das velocidades
, as derivadas parciais em relação a
de
são zero. Assim, a equação simplifica para:
Essa é a forma das Equações de Lagrange com Multiplicadores, que incorpora as restri��ões no movimento.
Passo 6
Agora, vamos olhar para as últimas
equações, correspondentes aos multiplicadores de Lagrange
. Para cada
, a equação de Euler-Lagrange é:
Como a Lagrangiana
não depende das derivadas de
(ou seja,
), o primeiro termo desaparece, e a equação fica:
Isso nos dá as Equações de Restrição, garantindo que os vínculos holônomos sejam satisfeitos.
Resposta
Assim, mostramos que ao introduzir os multiplicadores de Lagrange como variáveis independentes
, as Equações de Euler-Lagrange para
unificam as equações de movimento e as equações de restrição: