No caso holônomo a técnica dos multiplicadores de Lagrange é dispensável em princípio, já que é possível escolher coordenadas generalizadas em termos das quais as equações de vínculo são identicamente satisfeitas. No entanto, na discussão de certas questões teóricas gerais é frequentemente vantajoso tratar vínculos holônomos pela técnica dos multiplicadores de Lagrange. Dados os vínculos holônomos e , considere a nova lagrangiana definida por
Introduzindo as variáveis independentes , onde as primeiras definem as coordenadas generalizadas e as últimas os multiplicadores de Lagrange. Prove que as equações de movimento e as equações de vínculo podem ser escritas na forma unificada

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sistemas com vínculos holônomos, que são restrições que dependem apenas das coordenadas e possivelmente do tempo, mas não das velocidades. A questão envolve multiplicadores de Lagrange, uma técnica para lidar com essas restrições na Mecânica Lagrangiana. A gente vai precisar entender como montar a Lagrangiana aumentada e derivar as equações de movimento que satisfazem tanto as dinâmicas do sistema quanto as restrições impostas. Vamos seguir passo a passo para provar que as equações de movimento e de vínculo podem ser escritas de forma unificada usando essa Lagrangiana expandida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana padrão é dada por , onde são as coordenadas generalizadas e suas derivadas em relação ao tempo. Quando temos vínculos holônomos para , precisamos garantir que essas restrições sejam satisfeitas durante o movimento do sistema.
Para isso, introduzimos os multiplicadores de Lagrange e definimos uma nova Lagrangiana aumentada:
Essa nova Lagrangiana incorpora as restrições diretamente na função que usamos para derivar as equações de movimento.

Passo 3

Agora, vamos introduzir as variáveis independentes onde . As primeiras variáveis correspondem às coordenadas generalizadas , e as últimas variáveis correspondem aos multiplicadores de Lagrange .
Então, podemos reescrever a Lagrangiana aumentada em termos dessas novas variáveis:

Passo 4

A próxima etapa é aplicar o Princípio de Hamilton que nos diz que as equações de movimento são obtidas a partir das condições de estacionariedade da ação, ou seja, das derivadas parciais da Lagrangiana em relação às coordenadas e suas derivadas temporais.
Aplicando as Equações de Euler-Lagrange para cada , temos:
Isso significa que para cada coordenada generalizada e para cada multiplicador de Lagrange, devemos satisfazer essa equação.

Passo 5

Vamos analisar o que essas equações significam para as primeiras variáveis , que correspondem às coordenadas .
Para essas, a equação de Euler-Lagrange se torna:
Como os vínculos holônomos não dependem das velocidades , as derivadas parciais em relação a de são zero. Assim, a equação simplifica para:
Essa é a forma das Equações de Lagrange com Multiplicadores, que incorpora as restri��ões no movimento.

Passo 6

Agora, vamos olhar para as últimas equações, correspondentes aos multiplicadores de Lagrange . Para cada , a equação de Euler-Lagrange é:
Como a Lagrangiana não depende das derivadas de (ou seja, ), o primeiro termo desaparece, e a equação fica:
Isso nos dá as Equações de Restrição, garantindo que os vínculos holônomos sejam satisfeitos.

Resposta

Assim, mostramos que ao introduzir os multiplicadores de Lagrange como variáveis independentes , as Equações de Euler-Lagrange para unificam as equações de movimento e as equações de restrição:

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