Compare as declividades de um canal semicircular escoando cheio e de um canal retangular de mesma largura, mesma área molhada, mesmo revestimento e transportando a mesma vazão em regime permanente e uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para comparar as declividades (ou seja, a inclinação) de dois tipos de canais: um semicircular e outro retangular. Ambos têm a mesma largura, a mesma área molhada, o mesmo revestimento e transportam a mesma vazão em regime permanente e uniforme. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre hidráulica de canais abertos, especialmente sobre a equação de Manning, que relaciona a declividade com a vazão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula de Manning, que é usada para calcular a velocidade ou a declividade de um fluxo em canais abertos:
Onde:
- $ V $ é a velocidade do fluxo,
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning,
- $ R $ é o raio hidráulico,
- $ S $ é a declividade do canal.
Como queremos comparar as declividades dos dois canais para a mesma vazão, vamos rearranjar a fórmula para encontrar $ S $:
Passo 3
Agora, precisamos considerar que a vazão $ Q $ é a mesma nos dois canais. A vazão é dada por:
Onde:
- $ A $ é a área molhada,
- $ V $ é a velocidade do fluxo.
Como $ Q $ é igual para os dois canais e $ A $ também é a mesma, isso significa que as velocidades $ V $ são iguais. Portanto, podemos igualar as declividades dos dois canais usando a relação entre seus raios hidráulicos.
Passo 4
O raio hidráulico $ R $ é definido como a razão entre a área molhada $ A $ e o perímetro molhado $ P $:
Para o canal semicircular e o retangular, vamos calcular $ R $ considerando que têm a mesma área molhada.
Passo 5
Vamos calcular o raio hidráulico para cada canal:
Canal Retangular:
- Área molhada $ A $ = largura $ b $
profundidade $ h $. - Perímetro molhado $ P $ = $ b + 2h $.
- Então, $ R_r = \frac{b h}{b + 2h} $.
Canal Semicircular:
- Área molhada $ A $ =
, onde $ r $ é o raio. - Perímetro molhado $ P $ =
(meia circunferência mais o diâmetro). - Então, $ R_c = \frac{\frac{1}{2} \pi r^2}{\pi r + 2r} = \frac{\frac{1}{2} \pi r}{\pi + 2} $.
Passo 6
Como os canais têm a mesma área molhada e a mesma largura, podemos relacionar os raios hidráulicos. A relação dada no enunciado é:
Isso indica que o raio hidráulico do canal semicircular é 0,843 vezes o raio hidráulico do canal retangular.
Passo 7
Voltando à equação de Manning rearranjada para $ S $:
Como $ V $ e $ n $ são os mesmos para os dois canais, a declividade $ S $ está inversamente relacionada a $ R^{2/3} $. Portanto, se $ R_c = 0,843 R_r $, substituímos na equação:
Passo 8
Simplificando a relação:
Calculando $ (1 / 0,843)^{2/3} $:
Então:
Resposta
A declividade do canal semicircular é aproximadamente 1,145 vezes a declividade do canal retangular. Ou seja, $ S_c \approx 1,145 , S_r $.