Mostre que, em um escoamento permanente e uniforme em um canal, a relação entre a velocidade média V e a velocidade de atrito u* é dada por:
V=u* cdot Rh ^1 / 6n cdot raizg

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, em um escoamento permanente e uniforme em um canal, a velocidade média $ V $ está relacionada com a velocidade de atrito $ u_* $ pela seguinte fórmula:
V
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de hidráulica, como escoamento permanente, velocidade de atrito, raio hidráulico $ R_h $, e a equação de Manning.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é escoamento permanente e uniforme. Isso significa que as características do fluxo, como a velocidade e a profundidade, não mudam com o tempo nem ao longo do canal. É um tipo de fluxo estável, comum em rios e canais artificiais.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a velocidade de atrito $ u_* $. Ela representa a velocidade associada à tensão de cisalhamento na interface entre a água e o leito do canal. É uma medida de quanta força está sendo exercida para “puxar” a água ao longo do canal.

Passo 4

O próximo conceito é o raio hidráulico $ R_h $, que é definido como a área da seção transversal do fluxo dividida pelo perímetro molhado. Em canais de seção retangular, por exemplo, $ R_h = \frac{A}{P} $, onde $ A $ é a área e $ P $ o perímetro em contato com a água.

Passo 5

Vamos usar a equação de Manning, que é muito usada para calcular a velocidade média em canais abertos. A fórmula da equação de Manning é:
V = 1n Rh^2/3 S^1/2
Onde:
  • $ V $ é a velocidade média,
  • $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning,
  • $ R_h $ é o raio hidráulico,
  • $ S $ é a declividade do canal.

Passo 6

Sabemos que a velocidade de atrito $ u_* $ está relacionada à tensão de cisalhamento $ \tau $ pela fórmula:
u*
Assumindo que estamos trabalhando com água, $ \rho $ (densidade da água) é uma constante e pode ser absorvida na equação.

Passo 7

A tensão de cisalhamento $ \tau $ também pode ser relacionada à declividade $ S $ e ao raio hidráulico $ R_h $ pela equação:
tau
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 8

Substituindo $ \tau $ na equação de $ u_* $, temos:
tau
Simplificando,
u*

Passo 9

Agora, vamos relacionar $ u_* $ com a equação de Manning. Da equação de Manning:
u*
Queremos expressar $ S $ em termos de $ u_* $. Da equação de $ u_* $:
V = 1n Rh^2/3 S^1/2

Passo 10

Substituindo $ S $ na equação de Manning:
S
Simplificando a expressão dentro da raiz:
V = 1n Rh^2/3 ( u*^2g Rh )^1/2

Passo 11

Multiplicando os termos:
V = u*n raizg Rh^2/3 cdot Rh^-1/2
Subtraindo os expoentes de $ R_h $:
Rh

Resposta

Portanto, mostramos que em um escoamento permanente e uniforme em um canal, a relação entre a velocidade média $ V $ e a velocidade de atrito $ u_* $ é dada por:
V

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