Mostre que, em um escoamento permanente e uniforme em um canal, a relação entre a velocidade média V e a velocidade de atrito
é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, em um escoamento permanente e uniforme em um canal, a velocidade média $ V $ está relacionada com a velocidade de atrito $ u_* $ pela seguinte fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de hidráulica, como escoamento permanente, velocidade de atrito, raio hidráulico $ R_h $, e a equação de Manning.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é escoamento permanente e uniforme. Isso significa que as características do fluxo, como a velocidade e a profundidade, não mudam com o tempo nem ao longo do canal. É um tipo de fluxo estável, comum em rios e canais artificiais.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a velocidade de atrito $ u_* $. Ela representa a velocidade associada à tensão de cisalhamento na interface entre a água e o leito do canal. É uma medida de quanta força está sendo exercida para “puxar” a água ao longo do canal.
Passo 4
O próximo conceito é o raio hidráulico $ R_h $, que é definido como a área da seção transversal do fluxo dividida pelo perímetro molhado. Em canais de seção retangular, por exemplo, $ R_h = \frac{A}{P} $, onde $ A $ é a área e $ P $ o perímetro em contato com a água.
Passo 5
Vamos usar a equação de Manning, que é muito usada para calcular a velocidade média em canais abertos. A fórmula da equação de Manning é:
Onde:
- $ V $ é a velocidade média,
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade de Manning,
- $ R_h $ é o raio hidráulico,
- $ S $ é a declividade do canal.
Passo 6
Sabemos que a velocidade de atrito $ u_* $ está relacionada à tensão de cisalhamento $ \tau $ pela fórmula:
Assumindo que estamos trabalhando com água, $ \rho $ (densidade da água) é uma constante e pode ser absorvida na equação.
Passo 7
A tensão de cisalhamento $ \tau $ também pode ser relacionada à declividade $ S $ e ao raio hidráulico $ R_h $ pela equação:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 8
Substituindo $ \tau $ na equação de $ u_* $, temos:
Simplificando,
Passo 9
Agora, vamos relacionar $ u_* $ com a equação de Manning. Da equação de Manning:
Queremos expressar $ S $ em termos de $ u_* $. Da equação de $ u_* $:
Passo 10
Substituindo $ S $ na equação de Manning:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 11
Multiplicando os termos:
Subtraindo os expoentes de $ R_h $:
Resposta
Portanto, mostramos que em um escoamento permanente e uniforme em um canal, a relação entre a velocidade média $ V $ e a velocidade de atrito $ u_* $ é dada por: