Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências. sumn=1^infty x^nn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
sumn=1^infty x^nn
Isso envolve entender conceitos de séries infinitas e como determinar até onde elas “funcionam” ou convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Esse raio indica até que ponto, no eixo dos números reais, a série de potências converge. Para encontrá-lo, geralmente usamos o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert).

Passo 3

O Teste da Razão nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge ao analisarmos o limite do quociente entre termos consecutivos. Vamos aplicar isso na nossa série.
Seja limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^n+1n+1x^nn | = limn to infty | x cdot nn+1 | . Então, calculamos:

Passo 4

Simplificando o limite:
limn to infty | x cdot nn+1 | = |x| cdot limn to infty nn+1 = |x| cdot 1 = |x|
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se esse limite for menor que 1.

Passo 5

Então, para convergência:
|x| < 1
Isso significa que o raio de convergência é 1.

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de para os quais a série converge. Sabemos que para , a série converge. Precisamos verificar o que acontece quando .

Passo 7

Caso 1: sumn=1^infty 1n
A série se torna:
sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a famosa série harmônica, que diverge.
Caso 2:
A série se torna:
Essa é a série harmônica alternada, que converge pelo Teste da Série Alternada.

Passo 8

Resumindo:
  • Para , a série converge.
  • Para , a série também converge.
  • Para , a série diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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