Completar a tabela abaixo, supondo as variáveis X e Y independentes?
X -1 1 2 P(Y=yi)
Y
-1 0,06 0,06
0 0,3
1 0,15 0,2
P(X=xi) 0,4 0,3 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa completar uma tabela de probabilidades para as variáveis aleatórias e , assumindo que elas são independentes. Isso faz parte da matéria de Probabilidade, mais especificamente de Distribuições Conjuntas de Variáveis Aleatórias. Para resolver, vamos precisar entender o que significa independência entre e e como calcular probabilidades conjuntas usando as probabilidades marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas variáveis aleatórias são independentes. Se P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi) times P(Y = yj) e são independentes, então a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades marginais e . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos identificar as probabilidades marginais que já estão na tabela. Na última coluna, temos P(Y = -1) + P(Y = 0) + P(Y = 1) = 1 , e na última linha, temos . Sabemos que a soma das probabilidades marginais de deve ser 1:
A tabela nos dá . Ainda precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos usar as informações da primeira coluna da tabela para encontrar P(X = -1, Y = -1) = P(X = -1) times P(Y = -1) = 0,06 . Sabemos que P(X = -1) + 0,4 + 0,3 = 1 implies P(X = -1) = 1 - 0,7 = 0,3 . Como 0,3 times P(Y = -1) = 0,06 implies P(Y = -1) = 0,060,3 = 0,2 e são independentes:
Mas também temos que não foi fornecido diretamente. Vamos usar a soma das probabilidades marginais de :
Agora podemos encontrar :

Passo 5

Com 0,2 + 0,3 + P(Y = 1) = 1 implies P(Y = 1) = 1 - 0,5 = 0,5 e , podemos encontrar :

Passo 6

Agora que temos todas as probabilidades marginais de P(X = 1, Y = -1) = 0,4 times 0,2 = 0,08 , vamos preencher as células faltantes da tabela usando a fórmula da independência P(X = 2, Y = -1) = 0,3 times 0,2 = 0,06 .
Para P(X = -1, Y = 0) = 0,3 times 0,3 = 0,09 :
P(X = 1, Y = 0) = 0,4 times 0,3 = 0,12
P(X = 2, Y = 0) = 0,3 times 0,3 = 0,09
Para P(X = 2, Y = 1) = 0,3 times 0,5 = 0,15 :
Para :

Passo 7

Agora, vamos verificar se todas as probabilidades somam 1 corretamente. Vamos somar todas as células da tabela:
Para 0,06 + 0,08 + 0,06 = 0,20 :
0,09 + 0,12 + 0,09 = 0,30
Para 0,15 + 0,20 + 0,15 = 0,50 :
0,20 + 0,30 + 0,50 = 1,00
Para :
Total:
Está tudo correto!

Resposta

A tabela completa, assumindo que X e P(Y=yi) são independentes, fica assim:
P(X=xi) -1 1 2
Y
-1 0,06 0,08 0,06 0,2
0 0,09 0,12 0,09 0,3
1 0,15 0,2 0,15 0,5
0,3 0,4 0,3 1

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