Completar a tabela abaixo, supondo as variáveis e independentes?
-1 1 2
Y
-1 0,06 0,06
0 0,3
1 0,15 0,2
0,4 0,3 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa completar uma tabela de probabilidades para as variáveis aleatórias e , assumindo que elas são independentes. Isso faz parte da matéria de Probabilidade, mais especificamente de Distribuições Conjuntas de Variáveis Aleatórias. Para resolver, vamos precisar entender o que significa independência entre e e como calcular probabilidades conjuntas usando as probabilidades marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas variáveis aleatórias são independentes. Se e são independentes, então a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades marginais e . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos identificar as probabilidades marginais que já estão na tabela. Na última coluna, temos , e na última linha, temos . Sabemos que a soma das probabilidades marginais de deve ser 1:
A tabela nos dá . Ainda precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos usar as informações da primeira coluna da tabela para encontrar . Sabemos que . Como e são independentes:
Mas também temos que não foi fornecido diretamente. Vamos usar a soma das probabilidades marginais de :
Agora podemos encontrar :

Passo 5

Com e , podemos encontrar :

Passo 6

Agora que temos todas as probabilidades marginais de , vamos preencher as células faltantes da tabela usando a fórmula da independência .
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos verificar se todas as probabilidades somam 1 corretamente. Vamos somar todas as células da tabela:
Para :
Para :
Para :
Total:
Está tudo correto!

Resposta

A tabela completa, assumindo que e são independentes, fica assim:
-1 1 2
Y
-1 0,06 0,08 0,06 0,2
0 0,09 0,12 0,09 0,3
1 0,15 0,2 0,15 0,5
0,3 0,4 0,3 1

Exercícios relacionados

A função densidade de uma variável aleatória é:
á
(a) Encontre a função densidade para a variável aleatória .
(b) Encontre a função densidade para a variável aleatória .
A função de distribuição para uma variável aleatória é:
(a) Encontre a função densidade.
(b) Encontre a probabilidade de que .
© Encontre a probabilidade de que .
Retire uma amostra de 10 resistências, utilizando a amostragem aleatória simples sem reposição e calcule a média aritmética (números aleatórios gerados: 26 - 95 - - 02 - 14 - 03 - 05 - 48 - 43);
Uma urna contém inicialmente 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Toda vez que uma bola é retirada, sua cor é registrada e é substituída, na urna, por duas bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que
a) As primeiras duas bolas retiradas são negras e as outras duas são brancas;