(a) Encontre a função densidade para a variável aleatória .
(b) Encontre a função densidade para a variável aleatória .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função densidade para uma variável aleatória :
Na parte (a), queremos encontrar a função densidade para a variável aleatória . Para isso, vamos precisar entender como transformar a função densidade de para quando há uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação. A função que relaciona com é . Podemos rearranjar isso para encontrar em termos de :
Isso é importante porque vamos precisar substituir em termos de para encontrar a nova função densidade.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da transformação, que é essencial para ajustar a função densidade quando realizamos mudanças de variável. A derivada de em relação a é:
O valor absoluto dessa derivada é .
Passo 4
Com a expressão de em termos de e a derivada, podemos escrever a função densidade de usando a fórmula de mudança de variável:
Substituindo e :
Passo 5
Agora, precisamos determinar o novo intervalo de com base no intervalo de . Sabemos que , então:
Resolvendo para :
Portanto, .
Passo 6
Agora vamos para a parte (b). Queremos encontrar a função densidade para a variável aleatória . Isso envolve uma transformação não linear, então teremos que considerar os diferentes valores de que levam a cada valor de .
Passo 7
Primeiro, queremos expressar em termos de . Se , então:
Isso significa que para cada positivo, há dois valores de que correspondem a ele.
Passo 8
Vamos encontrar a derivada de em relação a para cada caso:
O valor absoluto dessas derivadas é .
Passo 9
A função densidade de será a soma das contribuições dos dois valores de :
Substituindo :
Passo 10
Agora, vamos determinar o intervalo de . Sabemos que varia de a . Então, varia de: