A função densidade de uma variável aleatória X é:
f(x)= x^281, & -3á
(a) Encontre a função densidade para a variável aleatória Y=13(12-X).
(b) Encontre a função densidade para a variável aleatória Y=X^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função densidade para uma variável aleatória f(x)= x^281, & -3:
á
Na parte (a), queremos encontrar a função densidade para a variável aleatória . Para isso, vamos precisar entender como transformar a função densidade de para quando há uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação. A função que relaciona Y = 13(12 - X) implies 3Y = 12 - X implies X = 12 - 3Y com é . Podemos rearranjar isso para encontrar em termos de :
Isso é importante porque vamos precisar substituir em termos de para encontrar a nova função densidade.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da transformação, que é essencial para ajustar a função densidade quando realizamos mudanças de variável. A derivada de dXdY = ddY(12 - 3Y) = -3 em relação a é:
O valor absoluto dessa derivada é .

Passo 4

Com a expressão de fY(y) = fX(x) cdot | dXdY | em termos de fY(y) = fX(12 - 3y) cdot 3 = (12 - 3y)^281 cdot 3 = (12 - 3y)^227 e a derivada, podemos escrever a função densidade de usando a fórmula de mudança de variável:
Substituindo e :

Passo 5

Agora, precisamos determinar o novo intervalo de -3 < 12 - 3Y < 6 com base no intervalo de -3 < 12 - 3Y implies -15 < -3Y implies Y < 5 12 - 3Y < 6 implies -3Y < -6 implies Y > 2 . Sabemos que , então:
Resolvendo para :
Portanto, .

Passo 6

Agora vamos para a parte (b). Queremos encontrar a função densidade para a variável aleatória . Isso envolve uma transformação não linear, então teremos que considerar os diferentes valores de que levam a cada valor de .

Passo 7

Primeiro, queremos expressar X = raizY ou X = -raizY em termos de . Se , então:
Isso significa que para cada positivo, há dois valores de que correspondem a ele.

Passo 8

Vamos encontrar a derivada de dXdY = 12raizY e d(-X)dY = -12raizY em relação a para cada caso:
O valor absoluto dessas derivadas é .

Passo 9

A função densidade de fY(y) = fX(raizy) cdot 12raizy + fX(-raizy) cdot 12raizy será a soma das contribuições dos dois valores de fY(y) = (raizy)^281 cdot 12raizy + (-raizy)^281 cdot 12raizy = y81 cdot 12raizy + y81 cdot 12raizy = y81 cdot 1raizy = raizy81 :
Substituindo :

Passo 10

Agora, vamos determinar o intervalo de 0 <= Y <= 36 . Sabemos que varia de a . Então, varia de:

Resposta

A função densidade para fY(y) = raizy81, & 0 <= y <= 36 0, & caso contrário é:
á

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