A função de distribuição para uma variável aleatória
é:
(a) Encontre a função densidade.
(b) Encontre a probabilidade de que
.
© Encontre a probabilidade de que
.
(b) Encontre a probabilidade de que
© Encontre a probabilidade de que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a função de distribuição de uma variável aleatória
e pede para encontrarmos a função densidade, além de calcular algumas probabilidades específicas. Para isso, vamos usar conceitos de funções de distribuição acumulada e funções densidade de probabilidade.
Passo 2
Parte (a): Encontrar a função densidade
A função densidade
está relacionada com a função de distribuição acumulada
pela derivada. Ou seja:
Vamos derivar a função
:
Para
:
Para
:
Portanto, a função densidade é:
Passo 3
Parte (b): Encontrar a probabilidade de que
A probabilidade de
é complementada pela função de distribuição acumulada:
Vamos calcular
:
Portanto:
A probabilidade é
.
Passo 4
Parte ©: Encontrar a probabilidade de que
Primeiro, observamos que para
, usamos a função de distribuição acumulada
. Para
, já que nossa função de distribuição é zero para
, a probabilidade de
é igual a
.
Então:
Como
:
Resposta
(a) A função densidade é
.
(b) A probabilidade de que
é
.
© A probabilidade de que
é
.