A função de distribuição para uma variável aleatória X é:
FX(x)= 1-e^-2 x, & x >= 0 0, & x<0
(a) Encontre a função densidade.
(b) Encontre a probabilidade de que X>2.
© Encontre a probabilidade de que -3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá a função de distribuição de uma variável aleatória e pede para encontrarmos a função densidade, além de calcular algumas probabilidades específicas. Para isso, vamos usar conceitos de funções de distribuição acumulada e funções densidade de probabilidade.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a função densidade
A função densidade fX(x) = ddxFX(x) está relacionada com a função de distribuição acumulada FX(x) = 1 - e^-2x, & x >= 0 0, & x < 0 pela derivada. Ou seja:
fX(x) = ddx(1 - e^-2x) = 0 - (-2)e^-2x = 2e^-2x
Vamos derivar a função fX(x) = ddx(0) = 0 :
fX(x) = 2e^-2x, & x >= 0 0, & x < 0
Para :
Para :
Portanto, a função densidade é:

Passo 3

Parte (b): Encontrar a probabilidade de que P(X > 2) = 1 - FX(2)
A probabilidade de FX(2) = 1 - e^-2 times 2 = 1 - e^-4 é complementada pela função de distribuição acumulada:
P(X > 2) = 1 - (1 - e^-4) = e^-4
Vamos calcular :
Portanto:
A probabilidade é .

Passo 4

Parte ©: Encontrar a probabilidade de que P(-3 < X <= 4) = FX(4) - FX(-3)
Primeiro, observamos que para P(-3 < X <= 4) = FX(4) = 1 - e^-2 times 4 = 1 - e^-8 , usamos a função de distribuição acumulada . Para , já que nossa função de distribuição é zero para , a probabilidade de é igual a .
Então:
Como :

Resposta

(a) A função densidade é 2e^-2x, & x >= 0 0, & x < 0 .
(b) A probabilidade de que é .
© A probabilidade de que é .

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