Uma urna contém inicialmente 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Toda vez que uma bola é retirada, sua cor é registrada e é substituída, na urna, por duas bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que
a) As primeiras duas bolas retiradas são negras e as outras duas são brancas;
a) As primeiras duas bolas retiradas são negras e as outras duas são brancas;
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Toda vez que tiramos uma bola, anotamos sua cor e colocamos de volta na urna, mas adicionamos mais duas bolas da mesma cor. Queremos saber qual é a probabilidade de que as duas primeiras bolas retiradas sejam negras e as próximas duas sejam brancas. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e a regra da multiplicação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a urna muda após cada retirada. Inicialmente, temos 5 brancas e 7 negras, totalizando 12 bolas. Quando retiramos uma bola e ela é negra, colocamos de volta duas bolas negras. Isso aumenta o total de bolas na urna.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de a primeira bola ser negra. Como temos 7 bolas negras e 12 no total, a probabilidade é:
Passo 4
Após retirar a primeira bola negra e adicionar mais duas negras, a urna agora tem 5 brancas e
negras, totalizando 14 bolas. Agora, calculamos a probabilidade de a segunda bola também ser negra:
Passo 5
Depois de retirar a segunda bola negra e adicionar mais duas negras, a urna passa a ter 5 brancas e
negras, totalizando 16 bolas. Agora, queremos que a terceira bola seja branca. A probabilidade disso é:
Passo 6
Após retirar a terceira bola branca e adicionar mais duas brancas, a urna fica com
brancas e 11 negras, totalizando 18 bolas. Agora, vamos calcular a probabilidade de a quarta bola também ser branca:
Passo 7
Para encontrar a probabilidade total de que as duas primeiras bolas sejam negras e as duas seguintes sejam brancas, multiplicamos as probabilidades de cada etapa:
Resposta
A probabilidade de que as duas primeiras bolas retiradas sejam negras e as outras duas sejam brancas é: