Uma urna contém inicialmente 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Toda vez que uma bola é retirada, sua cor é registrada e é substituída, na urna, por duas bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que
a) As primeiras duas bolas retiradas são negras e as outras duas são brancas;

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas negras. Toda vez que tiramos uma bola, anotamos sua cor e colocamos de volta na urna, mas adicionamos mais duas bolas da mesma cor. Queremos saber qual é a probabilidade de que as duas primeiras bolas retiradas sejam negras e as próximas duas sejam brancas. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e a regra da multiplicação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a urna muda após cada retirada. Inicialmente, temos 5 brancas e 7 negras, totalizando 12 bolas. Quando retiramos uma bola e ela é negra, colocamos de volta duas bolas negras. Isso aumenta o total de bolas na urna.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de a primeira bola ser negra. Como temos 7 bolas negras e 12 no total, a probabilidade é:
P1 = 712

Passo 4

Após retirar a primeira bola negra e adicionar mais duas negras, a urna agora tem 5 brancas e P2 = 914 negras, totalizando 14 bolas. Agora, calculamos a probabilidade de a segunda bola também ser negra:

Passo 5

Depois de retirar a segunda bola negra e adicionar mais duas negras, a urna passa a ter 5 brancas e P3 = 516 negras, totalizando 16 bolas. Agora, queremos que a terceira bola seja branca. A probabilidade disso é:

Passo 6

Após retirar a terceira bola branca e adicionar mais duas brancas, a urna fica com P4 = 718 brancas e 11 negras, totalizando 18 bolas. Agora, vamos calcular a probabilidade de a quarta bola também ser branca:

Passo 7

Para encontrar a probabilidade total de que as duas primeiras bolas sejam negras e as duas seguintes sejam brancas, multiplicamos as probabilidades de cada etapa:
Ptotal = P1 times P2 times P3 times P4 = 712 times 914 times 516 times 718

Resposta

A probabilidade de que as duas primeiras bolas retiradas sejam negras e as outras duas sejam brancas é:
Ptotal = 712 times 914 times 516 times 718 = 220548384 approx 0,0455 ou 4,55%

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