Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona uma amostra de 5 peças. O lote será aceito se a amostra contiver, no máximo, 1 peça defeituosa. Há 20 peças defeituosas no lote. (b) Admitindo-se que o lote foi aceito, qual é a probabilidade de ter sido observado apenas 1 defeito?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote de 120 peças, das quais 20 são defeituosas. O controle de qualidade seleciona uma amostra de 5 peças. O lote é aceito se nessa amostra houver no máximo 1 peça defeituosa. A parte (b) da questão nos pede para calcular a probabilidade de, dado que o lote foi aceito, ter exatamente 1 defeito na amostra.
Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar conceitos de probabilidade condicional e combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular todas as maneiras possíveis de escolher 5 peças de um total de 120. Isso é dado pela combinação:
C120^5 = 120!5!(120-5)!
Onde representa o número de combinações de elementos escolhidos de um total de elementos.

Passo 3

Agora, vamos determinar as maneiras de escolher uma amostra que tenha no máximo 1 defeito. Isso inclui dois cenários:
  1. Nenhum defeito na amostra.
  2. Exatamente 1 defeito na amostra.
Vamos calcular cada um separadamente.

Passo 4

a) Nenhum defeito na amostra:
Isso significa que todas as 5 peças escolhidas são não defeituosas. Como há 120 - 20 = 100 peças não defeituosas, o número de combinações é:
C100^5 = 100!5!(100-5)!
b) Exatamente 1 defeito na amostra:
Aqui, escolhemos 1 peça defeituosa das 20 disponíveis e 4 peças não defeituosas das 100 disponíveis. As combinações são:
C20^1 times C100^4 = 20!1!(20-1)! times 100!4!(100-4)!

Passo 5

A quantidade total de amostras que fazem o lote ser aceito é a soma dos dois cenários:
C100^5 + C20^1 times C100^4
Agora, queremos a probabilidade de ter exatamente 1 defeito, dado que o lote foi aceito. Isso é uma probabilidade condicional, dada por:
P(1 defeito ,|, lote aceito) = C20^1 times C100^4C100^5 + C20^1 times C100^4

Resposta

A probabilidade de, dado que o lote foi aceito, ter exatamente 1 defeito na amostra é:

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