A componente
da velocidade em um campo de escoamento permanente e incompressível, no plano
, é
, onde
, e
é medido em metros. Determine a mais simples componente
da velocidade para este campo de escoamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de escoamento permanente e incompressível no plano
. A componente
da velocidade é dada por
, onde
e
está medido em metros. Nosso objetivo aqui é descobrir a componente
da velocidade, que vamos chamar de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar de uma coisa importante sobre fluxos incompressíveis: a divergência do campo de velocidade é zero. Isso significa que a soma das derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às suas respectivas direções é igual a zero. Em fórmula, fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Sabemos que:
Então, derivando em relação a
:
Passo 4
Substituindo essa derivada na equação da divergência:
Isso nos dá:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos integrar essa expressão em relação a
:
Como
e
são constantes em relação a
, a integral fica:
Onde
é uma função de integração que depende de
. Para simplificar, vamos assumir que
, já que não temos mais informações sobre ela.
Resposta
A componente
da velocidade é: