A componente da velocidade em um campo de escoamento permanente e incompressível, no plano , é , onde , e é medido em metros. Determine a mais simples componente da velocidade para este campo de escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de escoamento permanente e incompressível no plano . A componente da velocidade é dada por , onde e está medido em metros. Nosso objetivo aqui é descobrir a componente da velocidade, que vamos chamar de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar de uma coisa importante sobre fluxos incompressíveis: a divergência do campo de velocidade é zero. Isso significa que a soma das derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às suas respectivas direções é igual a zero. Em fórmula, fica assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Sabemos que:
Então, derivando em relação a :

Passo 4

Substituindo essa derivada na equação da divergência:
Isso nos dá:

Passo 5

Para encontrar , precisamos integrar essa expressão em relação a :
Como e são constantes em relação a , a integral fica:
Onde é uma função de integração que depende de . Para simplificar, vamos assumir que , já que não temos mais informações sobre ela.

Resposta

A componente da velocidade é:

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iii)
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