Considere um escoamento laminar, estacionário, contínuo, incompressível e completamente desenvolvido de um fluido newtoniano em um tubo infinitamente longo, de diâmetro D, inclinado de um ângulo a. O fluido não está aberto para a atmosfera e escoa para baixo, devido a um gradiente de pressão aplicado e à gravidade. Deduza uma expressão para a tensão cisalhante, usando as equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Então, a gente tem um problema de escoamento laminar e estacionário de um fluido newtoniano dentro de um tubo bem longo e inclinado em um ângulo . O tubo tem diâmetro , e o fluido está descendo por causa de uma diferença de pressão e da força da gravidade. O que precisamos fazer é encontrar uma expressão para a tensão cisalhante usando as equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de Navier-Stokes e como aplicá-la em coordenadas cilíndricas para escoamentos totalmente desenvolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para escoamentos completamente desenvolvidos e estacionários em um tubo, a velocidade do fluido só varia na direção radial ( 0 = -dPdz + mu ( 1r ddr( r dudr ) ) + rho g sin(alpha) ) e nada muda com o tempo ou ao longo do tubo ( ). Assim, a equação de Navier-Stokes simplifica bastante. Em coordenadas cilíndricas, a equação na direção fica:
Aqui, é o gradiente de pressão aplicado, é a viscosidade do fluido, é a densidade, é a aceleração da gravidade e é o ângulo de inclinação do tubo.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para facilitar a integração. Primeiro, isolamos os termos que dependem de mu ( 1r ddr( r dudr ) ) = dPdz - rho g sin(alpha) :
1r ddr( r dudr ) = De
Vamos chamar , que é o gradiente de pressão efetivo. Assim:

Passo 4

Agora, multiplicamos ambos os lados por ddr( r dudr ) = De para simplificar a equação:
r dudr = De
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por dudr = De:
u(r) = De
Integramos novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração.

Passo 6

Como o fluxo é laminar e o tubo é finito, a velocidade deve ser finita no centro do tubo ( 0 = De), o que implica que C2 = -De (porque seria infinito). Além disso, na parede do tubo ( ), a velocidade é zero devido à condição de não deslize:
Resolvendo para :

Passo 7

Substituindo u(r) = De de volta na expressão de u(r) = De:
Podemos reescrever isso como:

Passo 8

A tensão cisalhante tau(r) = mu dudr em um fluido newtoniano é dada por:
dudr = De
Vamos derivar tau(r) = mu cdot De em relação a :
Então, a tensão cisalhante fica:

Resposta

A expressão para a tensão cisalhante é , onde .

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