Considere um escoamento laminar, estacionário, contínuo, incompressível e completamente desenvolvido de um fluido newtoniano em um tubo infinitamente longo, de diâmetro D, inclinado de um ângulo a. O fluido não está aberto para a atmosfera e escoa para baixo, devido a um gradiente de pressão aplicado e à gravidade. Deduza uma expressão para a tensão cisalhante, usando as equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Então, a gente tem um problema de escoamento laminar e estacionário de um fluido newtoniano dentro de um tubo bem longo e inclinado em um ângulo
. O tubo tem diâmetro
, e o fluido está descendo por causa de uma diferença de pressão e da força da gravidade. O que precisamos fazer é encontrar uma expressão para a tensão cisalhante usando as equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre a equação de Navier-Stokes e como aplicá-la em coordenadas cilíndricas para escoamentos totalmente desenvolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para escoamentos completamente desenvolvidos e estacionários em um tubo, a velocidade do fluido só varia na direção radial (
) e nada muda com o tempo ou ao longo do tubo (
). Assim, a equação de Navier-Stokes simplifica bastante. Em coordenadas cilíndricas, a equação na direção
fica:
Aqui,
é o gradiente de pressão aplicado,
é a viscosidade do fluido,
é a densidade,
é a aceleração da gravidade e
é o ângulo de inclinação do tubo.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para facilitar a integração. Primeiro, isolamos os termos que dependem de
:
Vamos chamar
, que é o gradiente de pressão efetivo. Assim:
Passo 4
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para simplificar a equação:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
:
Integramos novamente em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Como o fluxo é laminar e o tubo é finito, a velocidade deve ser finita no centro do tubo (
), o que implica que
(porque
seria infinito). Além disso, na parede do tubo (
), a velocidade é zero devido à condição de não deslize:
Resolvendo para
:
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão de
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
A tensão cisalhante
em um fluido newtoniano é dada por:
Vamos derivar
em relação a
:
Então, a tensão cisalhante fica:
Resposta
A expressão para a tensão cisalhante é
, onde
.