A componente x da velocidade num campo de escoamento permanente, incompressível, no plano x y, é u=A / x^2, onde A=2 m^3 / s e x é medido em metros. Encontre a mais simples componente y da velocidade deste campo de escoamento. Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y)=(1,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo de escoamento no plano onde a componente da velocidade é dada por , com . Nosso objetivo é encontrar a componente da velocidade e depois calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para escoamentos incompressíveis e, depois, calcular a aceleração usando as derivadas das componentes de velocidade. Não se preocupe, vou explicar cada passo de forma bem tranquila!

Passo 2

Primeiro, como o escoamento é incompressível, a equação da continuidade se aplica. Para um escoamento bidimensional, a equação da continuidade é:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Onde:
  • é a componente da velocidade.
  • é a componente da velocidade.
Essa equação garante que a massa seja conservada no escoamento.

Passo 3

Sabemos que partial upartial x = ddx(Ax^2) = -2Ax^3 . Vamos calcular a derivada parcial de -2Ax^3 + partial vpartial y = 0 em relação a partial vpartial y = 2Ax^3 :
Agora, substituímos essa derivada na equação da continuidade:
Resolvendo para :

Passo 4

Para encontrar v = integral 2Ax^3 , dy = 2Ax^3 y + C , precisamos integrar v = 2Ax^3 y em relação a :
Onde é a constante de integração. Como estamos procurando a solução mais simples e não temos condições de contorno adicionais, podemos considerar .
Portanto,

Passo 5

Agora que temos as componentes a = ( u partial upartial x + v partial upartial y, u partial vpartial x + v partial vpartial y ) e da velocidade, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
A aceleração em um escoamento é dada por:
Vamos calcular cada termo passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
partial upartial x = -2Ax^3
partial upartial y = 0 (já que u não depende de y) áã
partial vpartial x = partialpartial x ( 2Ax^3 y ) = -6Ax^4 y
partial vpartial y = 2Ax^3

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na expressão da aceleração:
a = ( u cdot (-2Ax^3) + v cdot 0, u cdot (-6Ax^4 y ) + v cdot 2Ax^3 )
Simplificando:
a = ( -2A ux^3, -6A u yx^4 + 2A vx^3 )

Passo 8

Agora, vamos substituir u = Ax^2, v = 2Ax^3 y e a = ( -2A cdot Ax^2x^3, -6A cdot Ax^2 cdot yx^4 + 2A cdot 2Ax^3 yx^3 ) pelas expressões que encontramos:
ax = -2A^2x^5
Substituindo:
ay = -6A^2 yx^6 + 4A^2 yx^6 = -2A^2 yx^6
Simplificando cada componente:
Para a componente :
Para a componente :

Passo 9

Agora, vamos avaliar a aceleração no ponto ax = -2 cdot (2)^21^5 = -81 = -8 , m/s^2 e com ay = -2 cdot (2)^2 cdot 31^6 = -241 = -24 , m/s^2 .
Substituindo e :
Para :
Para :

Resposta

A componente v = 2Ax^3 y da velocidade é:
a = ( -8 , m/s^2, -24 , m/s^2 )
No ponto , a aceleração da partícula fluida é:

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