A componente
da velocidade num campo de escoamento permanente, incompressível, no plano
, é
, onde
e
é medido em metros. Encontre a mais simples componente
da velocidade deste campo de escoamento. Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um campo de escoamento no plano
onde a componente
da velocidade é dada por
, com
. Nosso objetivo é encontrar a componente
da velocidade
e depois calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para escoamentos incompressíveis e, depois, calcular a aceleração usando as derivadas das componentes de velocidade. Não se preocupe, vou explicar cada passo de forma bem tranquila!
Passo 2
Primeiro, como o escoamento é incompressível, a equação da continuidade se aplica. Para um escoamento bidimensional, a equação da continuidade é:
Onde:
-
é a componente da velocidade. -
é a componente da velocidade.
Essa equação garante que a massa seja conservada no escoamento.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, substituímos essa derivada na equação da continuidade:
Resolvendo para
:
Passo 4
Para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Como estamos procurando a solução mais simples e não temos condições de contorno adicionais, podemos considerar
.
Portanto,
Passo 5
Agora que temos as componentes
e
da velocidade, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto
.
A aceleração
em um escoamento é dada por:
Vamos calcular cada termo passo a passo.
Passo 6
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Passo 7
Agora, substituímos esses valores na expressão da aceleração:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos substituir
e
pelas expressões que encontramos:
Substituindo:
Simplificando cada componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 9
Agora, vamos avaliar a aceleração no ponto
e com
.
Substituindo
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
A componente
da velocidade é:
No ponto
, a aceleração da partícula fluida é:
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Um longo tubo de vapor de 8 cm de diâmetro, cuja temperatura da superfície externa é de
passa por uma área aberta que não está protegida contra os ventos. Determinar a taxa de perda de calor do tubo por unidade de seu comprimento quando o ar está a 1 atm de pressão e
e o vento está soprando sobre a tubulação com uma velocidade de
.
Um tubo de
de raio conduz óleo com velocidade de
. Sua massa específica é de
e sua viscosidade é de 0,2 Pa.s. Determine qual é o tipo de escoamento, justificando sua resposta. Resposta: 160; laminar
Identifique qual é o tipo de escoamento sabendo que um fluido de viscosidade igual a
, densidade relativa de 0,85 está escoando em tubo de
de diâmetro interno com velocidade de
. Resposta: 637,5; laminar