A componente da velocidade num campo de escoamento permanente, incompressível, no plano , é , onde e é medido em metros. Encontre a mais simples componente da velocidade deste campo de escoamento. Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um campo de escoamento no plano onde a componente da velocidade é dada por , com . Nosso objetivo é encontrar a componente da velocidade e depois calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da continuidade para escoamentos incompressíveis e, depois, calcular a aceleração usando as derivadas das componentes de velocidade. Não se preocupe, vou explicar cada passo de forma bem tranquila!

Passo 2

Primeiro, como o escoamento é incompressível, a equação da continuidade se aplica. Para um escoamento bidimensional, a equação da continuidade é:
Onde:
  • é a componente da velocidade.
  • é a componente da velocidade.
Essa equação garante que a massa seja conservada no escoamento.

Passo 3

Sabemos que . Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, substituímos essa derivada na equação da continuidade:
Resolvendo para :

Passo 4

Para encontrar , precisamos integrar em relação a :
Onde é a constante de integração. Como estamos procurando a solução mais simples e não temos condições de contorno adicionais, podemos considerar .
Portanto,

Passo 5

Agora que temos as componentes e da velocidade, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
A aceleração em um escoamento é dada por:
Vamos calcular cada termo passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
áã

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na expressão da aceleração:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos substituir e pelas expressões que encontramos:
Substituindo:
Simplificando cada componente:
Para a componente :
Para a componente :

Passo 9

Agora, vamos avaliar a aceleração no ponto e com .
Substituindo e :
Para :
Para :

Resposta

A componente da velocidade é:
No ponto , a aceleração da partícula fluida é:

Exercícios relacionados

Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
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Um tubo de de raio conduz óleo com velocidade de . Sua massa específica é de e sua viscosidade é de 0,2 Pa.s. Determine qual é o tipo de escoamento, justificando sua resposta. Resposta: 160; laminar
Identifique qual é o tipo de escoamento sabendo que um fluido de viscosidade igual a , densidade relativa de 0,85 está escoando em tubo de de diâmetro interno com velocidade de . Resposta: 637,5; laminar