Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível?
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para identificarmos quais conjuntos de equações representam casos possíveis de escoamento bidimensional incompressível. Isso está dentro do estudo de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente sobre escoamentos incompressíveis. Para resolver, vamos precisar usar a equação de continuidade para escoamentos incompressíveis, que nos ajuda a verificar se o fluxo está preservando a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a condição para um escoamento bidimensional ser incompressível. A equação de continuidade para incompressibilidade é dada por:
Aqui,
e
são as componentes da velocidade nas direções
e
, respectivamente. Nosso objetivo é verificar, para cada conjunto de equações, se essa condição é satisfeita.
Passo 3
Vamos analisar cada opção uma por uma.
Opção (a):
e
Calculando as derivadas parciais:
Somando:
Então, essa opção não representa um escoamento incompressível.
Passo 4
Opção (b):
e
Calculando as derivadas parciais:
Somando:
Portanto, essa opção representa um escoamento incompressível.
Passo 5
Opção ©:
e
Calculando as derivadas parciais:
Somando:
Então, essa opção não representa um escoamento incompressível.
Passo 6
Opção (d):
e
Observamos que há uma variável
(tempo) nas equações de
e
. A condição de incompressibilidade depende apenas das derivadas espaciais, então vamos considerar
como uma constante.
Calculando as derivadas parciais:
Somando:
Portanto, essa opção representa um escoamento incompressível.
Passo 7
Opção (e):
e
Calculando as derivadas parciais:
Somando:
Então, essa opção não representa um escoamento incompressível.
Resposta
Os conjuntos de equações que representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível são as opções (b) e (d).