As componentes do estado de deformação no ponto do apoio são epsilonx=150(10^-6), epsilony=200(10^-6), gammax y=-700(10^-6). Use as equações de transformação da deformação e determine as deformações equivalentes no plano em um elemento orientado a um ângulo de theta=60^circ no sentido anti-horário a partir da posição original. Trace um esboço do elemento deformado por conta dessas deformações no plano x-y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo nessa questão. A gente tem umas deformações no ponto de apoio representadas por epsilonx=150 times 10^-6, epsilony=200 times 10^-6 e gammaxy=-700 times 10^-6. O assunto aqui é transformação de deformações, que faz parte da mecânica dos materiais. A gente vai usar as equações de transformação da deformação para achar como essas deformações mudam quando a gente gira o elemento em 60 graus no sentido anti-horário. No final, vamos desenhar como fica o elemento deformado nesse novo ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações de transformação da deformação. Quando você tem um elemento com deformações em x e y e uma cisalhamento gammaxy, e você gira o elemento em um ângulo theta, as novas deformações epsilonx', epsilony' e gammax'y' no novo sistema de coordenadas são dadas por:
epsilonx' = epsilonx cos^2 theta + epsilony sin^2 theta + gammaxy2 sin 2theta
epsilony' = epsilonx sin^2 theta + epsilony cos^2 theta - gammaxy2 sin 2theta
gammax'y' = (epsilony - epsilonx) sin 2theta + gammaxy cos 2theta
Essas fórmulas vão nos ajudar a calcular como cada componente da deformação muda com o ângulo de rotação.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, convertemos os ângulos para radianos se necessário, mas aqui vamos usar direto em graus mesmo, já que as funções trigonométricas entendem graus.
Dado que theta = 60^circ, temos:
cos 60^circ = 0,5 e sin 60^circ = raiz32 approx 0,866
Além disso:
sin 2theta = sin 120^circ = sin(180^circ - 60^circ) = sin 60^circ = raiz32 approx 0,866
cos 2theta = cos 120^circ = cos(180^circ - 60^circ) = -cos 60^circ = -0,5

Passo 4

Agora, vamos calcular cada componente:
Para epsilonx':
epsilonx' = 150 times 10^-6 times (0,5)^2 + 200 times 10^-6 times (0,866)^2 + -700 times 10^-62 times (2 times 0,5 times 0,866)
epsilonx' = 150 times 10^-6 times 0,25 + 200 times 10^-6 times 0,75 + (-350 times 10^-6) times 0,866
epsilonx' = 37,5 times 10^-6 + 150 times 10^-6 - 303,1 times 10^-6 = -115,6 times 10^-6
Para epsilony':
epsilony' = 150 times 10^-6 times (0,866)^2 + 200 times 10^-6 times (0,5)^2 - -700 times 10^-62 times (2 times 0,5 times 0,866)
epsilony' = 150 times 10^-6 times 0,75 + 200 times 10^-6 times 0,25 + 350 times 10^-6 times 0,866
epsilony' = 112,5 times 10^-6 + 50 times 10^-6 + 303,1 times 10^-6 = 465,6 times 10^-6
Para gammax'y':
gammax'y' = (200 times 10^-6 - 150 times 10^-6) times 2 times 60^circ + (-700 times 10^-6) times (-0,5)
Aqui, parece que houve um erro na aplicação direta da fórmula. A fórmula correta é:
gammax'y' = (200 times 10^-6 - 150 times 10^-6) times sin 120^circ + (-700 times 10^-6) times cos 120^circ
gammax'y' = 50 times 10^-6 times 0,866 + (-700 times 10^-6) times (-0,5)
gammax'y' = 43,3 times 10^-6 + 350 times 10^-6 = 393,3 times 10^-6

Passo 5

Agora, vamos resumir os resultados das deformações no novo plano rotacionado:
epsilonx' = -115,6 times 10^-6
epsilony' = 465,6 times 10^-6
gammax'y' = 393,3 times 10^-6
Para desenhar o esboço do elemento deformado, imagine um quadrado original no plano x-y. Após a rotação de 60^circ e aplicando as deformações calculadas:
  • No eixo x', o elemento está comprimido, já que epsilonx' é negativo.
  • No eixo y', há um alongamento significativo.
  • O cisalhamento gammax'y' indica que o elemento foi distorcido, inclinando os lados.

Resposta

As deformações equivalentes no plano rotacionado a 60^circ são:
epsilonx' = -115,6 times 10^-6
epsilony' = 465,6 times 10^-6
gammax'y' = 393,3 times 10^-6

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