A baixas velocidades, o perfil de velocidades no escoamento em um tubo cilíndrico é dado por , onde vz é uma função quadrática do raio r. Na linha central a tensão de cisalhamento deve ser nula (condição de continuidade da tensão) e vz=V. A partir destas informações, calcule a expressão para o perfil de velocidades.
Resp.: vz=(V / R^2)(R^2-r^2)
Passo 1
Então, a gente tem um problema de fluxo de fluido em um tubo cilíndrico. A gente quer descobrir como a velocidade do fluido varia em função do raio do tubo. A gente sabe que, em baixas velocidades, o perfil de velocidade é uma função quadrática do raio. Vamos usar conceitos de mecânica de fluidos, especialmente sobre fluxo laminar em tubos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que a velocidade na direção do fluxo é e depende apenas do raio . A condição que a tensão de cisalhamento na linha central do tubo é nula nos diz que a derivada da velocidade em relação ao raio também é zero quando .
Passo 3
Sabemos que vz = a r^2 + b é uma função quadrática de . Então, podemos escrever:
onde e são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Na linha central ( V = a (0)^2 + b Rightarrow b = V ), a velocidade é vz = a r^2 + V . Substituindo na equação:
Então, nossa equação fica:
Passo 5
A condição de que a tensão de cisalhamento é nula na linha central implica que a derivada da velocidade em relação ao raio é zero quando dvzdr = 2a r . Vamos derivar dvzdr|r=0 = 0 Rightarrow 0 = 2a (0) Rightarrow 0 = 0 em relação a :
Quando :
Essa condição não nos dá nova informação, então precisamos de outra condição para encontrar .
Passo 6
Outra condição é que na parede do tubo ( vz(R) = a R^2 + V = 0 Rightarrow a R^2 = -V Rightarrow a = -VR^2 ), a velocidade do fluido é zero devido à condição de aderência (fluido em contato com a parede está imóvel). Então:
Passo 7
Substituindo vz = -VR^2 r^2 + V = V (1 - r^2R^2) = VR^2 (R^2 - r^2) de volta na equação de :