Uma comporta plana semicircular A B É articulada ao longo de B e suportada pela força horizontal FA aplicada em A. O líquido à esquerda da comporta varepsilon água. Calcule a força FA requerida para o equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma comporta semicircular que está articulada no ponto e recebe uma força horizontal no ponto . Esse sistema está em equilíbrio porque a água à esquerda da comporta está exercendo uma pressão sobre ela. Nosso objetivo aqui é calcular qual é o valor dessa força que mantém tudo em equilíbrio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática, mais especificamente o equilíbrio de torques, e princípios da hidrostática para entender a pressão da água na comporta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a pressão da água atua na comporta. A pressão hidrostática em um ponto de uma superfície submersa depende da profundidade desse ponto em relação à superfície livre da água. A fórmula para a pressão hidrostática é:
p = gamma cdot h
onde:
  • é a pressão,
  • é o peso específico da água,
  • é a profundidade.
Como a comporta é semicircular, a profundidade varia ao longo da altura da comporta.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno elemento de área na comporta. Para facilitar, usamos coordenadas polares, já que a comporta é semicircular. Seja h = R cdot sintheta o ângulo que define a posição de um elemento na semicircunferência, variando de a radianos.
A profundidade em função de é:
onde é o raio da semicircunferência.

Passo 4

A força diferencial dF = p cdot dS = gamma cdot h cdot dS = gamma cdot R cdot sintheta cdot (R cdot dtheta) exercida pela pressão na comporta em um pequeno elemento de área dF = gamma cdot R^2 cdot sintheta cdot dtheta é:
Simplificando:

Passo 5

Essa força diferencial cria um torque (momento) em relação ao ponto dtau = dF cdot (R cdot costheta) = gamma cdot R^3 cdot sintheta cdot costheta cdot dtheta . O braço de alavanca para esse torque é a distância horizontal desde até a linha de ação da força, que é .
Então, o torque diferencial é:

Passo 6

Para encontrar o torque total causado pela água na comporta, integramos tauágua = integral0^pi gamma cdot R^3 cdot sintheta cdot costheta cdot dtheta de tauágua = gamma cdot R^3 integral0^pi sintheta cdot costheta cdot dtheta a tauágua = gamma cdot R^32 integral0^pi sin(2theta) cdot dtheta :
integral sin(2theta) cdot dtheta = -12 cos(2theta) á
Vamos resolver essa integral:
tauágua = gamma cdot R^32 [ -12 cos(2pi) + 12 cos(0) ] = gamma cdot R^32 [ -12 (1) + 12 (1) ] = 0 á
Usando a identidade :
á
Integrando:
Aplicando os limites:
á
Ops! Parece que houve um erro na abordagem. Vamos reconsiderar o cálculo do torque.

Passo 7

Na verdade, a força hidrostática resultante atua no centro de pressão da superfície. Para uma semicircunferência, a profundidade média pode ser calculada para encontrar o ponto onde a força resultante atua. O momento devido à força hidrostática é então o produto dessa força pelo braço de alavanca correspondente.
A força resultante Fágua = integral0^pi gamma cdot R^2 cdot sintheta cdot dtheta = gamma cdot R^2 cdot 2 á é:
Fágua = 2 gamma R^2 á
Portanto:
tauágua = Fágua cdot R = 2 gamma R^3 á
O centro de pressão para uma semicircunferência está localizado a uma distância do centro, mas como a comporta está apoiada no ponto , o braço de alavanca é .
Então, o torque devido à força da água é:
áá

Passo 8

Para que a comporta esteja em equilíbrio, o torque causado pela força tauFA = FA cdot R deve equilibrar o torque da água. A força FA cdot R = 2 gamma R^3 está aplicada horizontalmente a uma distância de , criando um torque:
Igualando os torques para o equilíbrio:

Passo 9

Agora, isolamos FA = 2 gamma R^3R = 2 gamma R^2 para encontrar o valor da força necessária:

Resposta

A força horizontal requerida para o equilíbrio é:
FA = 2 gamma R^2

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