Uma comporta plana semicircular
É articulada ao longo de
e suportada pela força horizontal
aplicada em
. O líquido à esquerda da comporta
água. Calcule a força
requerida para o equilíbrio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma comporta semicircular
que está articulada no ponto
e recebe uma força horizontal
no ponto
. Esse sistema está em equilíbrio porque a água à esquerda da comporta está exercendo uma pressão sobre ela. Nosso objetivo aqui é calcular qual é o valor dessa força
que mantém tudo em equilíbrio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática, mais especificamente o equilíbrio de torques, e princípios da hidrostática para entender a pressão da água na comporta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a pressão da água atua na comporta. A pressão hidrostática em um ponto de uma superfície submersa depende da profundidade desse ponto em relação à superfície livre da água. A fórmula para a pressão hidrostática é:
onde:
-
é a pressão, -
é o peso específico da água, -
é a profundidade.
Como a comporta é semicircular, a profundidade
varia ao longo da altura da comporta.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de área na comporta. Para facilitar, usamos coordenadas polares, já que a comporta é semicircular. Seja
o ângulo que define a posição de um elemento na semicircunferência, variando de
a
radianos.
A profundidade
em função de
é:
onde
é o raio da semicircunferência.
Passo 4
A força diferencial
exercida pela pressão na comporta em um pequeno elemento de área
é:
Simplificando:
Passo 5
Essa força diferencial cria um torque (momento) em relação ao ponto
. O braço de alavanca para esse torque é a distância horizontal desde
até a linha de ação da força, que é
.
Então, o torque diferencial
é:
Passo 6
Para encontrar o torque total causado pela água na comporta, integramos
de
a
:
Vamos resolver essa integral:
Usando a identidade
:
Integrando:
Aplicando os limites:
Ops! Parece que houve um erro na abordagem. Vamos reconsiderar o cálculo do torque.
Passo 7
Na verdade, a força hidrostática resultante atua no centro de pressão da superfície. Para uma semicircunferência, a profundidade média pode ser calculada para encontrar o ponto onde a força resultante atua. O momento devido à força hidrostática é então o produto dessa força pelo braço de alavanca correspondente.
A força resultante
é:
Portanto:
O centro de pressão para uma semicircunferência está localizado a uma distância
do centro, mas como a comporta está apoiada no ponto
, o braço de alavanca é
.
Então, o torque devido à força da água é:
Passo 8
Para que a comporta esteja em equilíbrio, o torque causado pela força
deve equilibrar o torque da água. A força
está aplicada horizontalmente a uma distância
de
, criando um torque:
Igualando os torques para o equilíbrio:
Passo 9
Agora, isolamos
para encontrar o valor da força necessária:
Resposta
A força horizontal requerida para o equilíbrio é:
Exercícios relacionados
Qual seria 0 módulo da força eletrostática entre duas cargas pontuais de 1,00 C separadas por uma distância de (a)
(b)
, se essas cargas pontuais pudessem existir (o que não é verdade) e se fosse possível montar um sistema desse tipo?
Considere uma colher de aço inoxidável
parcialmente imersa na água em ebulição a
, em uma cozinha a
. O cabo da colher tem seção transversal de
e se estende por 18 cm no ar livre a partir da superfície da água. Considerando que o coeficiente de transferência de calor nas superfícies expostas do cabo da colher é de
, determine a diferença de temperatura através da superfície exposta do cabo da colher. Mencione as suas suposições.
Resposta:
Resposta:
Uma portinhola triangular de acesso deve ser projetada para ser colocada na lateral de uma forma contendo concreto líquido. Usando as coordenadas e dimensões mostradas, determine a força resultante que age sobre a portinhola e seu ponto de aplicação.
Concreto líquido é despejado na fôrma mostrada (
). A fôrma tem largura
normal ao diagrama. Calcule a magnitude da força vertical exercida sobre a fôrma pelo concreto e especifique sua linha de ação.