Concreto líquido é despejado na fôrma mostrada ( R=0,313 m ). A fôrma tem largura w=4,25 m normal ao diagrama. Calcule a magnitude da força vertical exercida sobre a fôrma pelo concreto e especifique sua linha de ação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que temos concreto líquido despejado numa fôrma com raio e largura . Nosso objetivo aqui é calcular a força vertical que o concreto exerce sobre essa fôrma e descobrir onde essa força está atuando. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de pressão hidrostática e integração para achar a força total.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a pressão do concreto varia com a profundidade. A pressão hidrostática p = rho g y em um ponto a uma certa altura abaixo da superfície do líquido é dada por:
onde:
  • é a densidade do concreto,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a profundidade no ponto considerado.

Passo 3

Agora, vamos pensar em um elemento infinitesimal da fôrma na posição dF = p cdot área = rho g y cdot w dy . A largura desse elemento é , sua altura é e a pressão aplicada é . A força sobre esse elemento é:
á

Passo 4

Para encontrar a força total F = integral0^R rho g y w , dy = rho g w integral0^R y , dy , precisamos integrar essa expressão desde a base da fôrma até o topo. Como a fôrma é semicircular, a profundidade máxima é o raio F = rho g w [ y^22 ]0^R = rho g w cdot R^22 :

Passo 5

Agora, vamos identificar a linha de ação dessa força. O ponto onde a força total atua é chamado de centro de pressão. Para uma superfície vertical semicircular, o centro de pressão está abaixo do centro geométrico. A posição bary = 4R3pi é dada por:

Resposta

A magnitude da força vertical exercida sobre a fôrma pelo concreto é:
F = 12 rho g w R^2
E essa força atua na linha de ação localizada a uma distância de abaixo do centro geométrico da fôrma.

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