Uma comporta de vertedouro, com a forma de um arco circular, tem w metros de largura. Determine o módulo da força devida a todos os fluidos atuando sobre a comporta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma comporta de vertedouro que tem a forma de um arco circular e tem uma largura de metros. Nossa missão aqui é descobrir qual é a força total que a água exerce sobre essa comporta. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre pressão e força hidrostática. Precisaremos entender como a pressão da água varia com a profundidade e como calcular a força resultante dessa pressão sobre uma superfície curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão exercida pela água em um ponto depende da profundidade desse ponto abaixo da superfície da água. A fórmula para a pressão hidrostática é:
onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade da água (aproximadamente ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a profundidade.

Passo 3

Agora, precisamos considerar que a comporta tem a forma de um arco circular. Vamos assumir que o arco é semicircular para simplificar. Assim, o raio do arco será metade da largura:
A profundidade varia ao longo da altura do arco. Para cada pequena parte da comporta, a profundidade muda, então precisamos integrar a força sobre toda a superfície do arco.

Passo 4

Vamos parametrizar o arco usando o ângulo medido a partir do ponto mais baixo do arco ( ) até o ponto mais alto ( ). A profundidade em termos de é:
A força diferencial exercida em uma pequena área na posição é:
A área diferencial em termos de é a largura (que, no caso, consideramos igual a 1 metro para simplificação) multiplicada pela diferença de altura:

Passo 5

Substituindo e na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos integrar de a para obter a força total :
Vamos resolver essa integral:
Fazendo a substituição , então :
Avaliado de 0 a :

Passo 7

Substituindo o resultado da integral na expressão de :
Substituindo :

Resposta

A força total exercida pela água sobre a comporta é:

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Um bloco de madeira mede de comprimento, de largura e de espessura. A densidade desse bloco é . Qual deve ser o volume de chumbo que pode ser amarrado debaixo do bloco para que ele possa flutuar em águas calmas com seu topo alinhado à superfície? Qual é a massa
desse volume de chumbo?
Resp:
Agua está fervendo cm uma panela funda de 12 cm de profundidade e diametro externo de 25 cm colocada em cima do fogão. 0 ar ambiente as superficies em torno estão a uma temperatura de , e a emissividade da superficie externa da panela e 0,80 . Considerando que toda a panela está a uma temperatura média de , determine a taxa de perda de calor a partir da sua superficie cilíndrica lateral para o meio por (a) convecçio natural e (b) radiação. © Se a aggua esta fervendo a uma taxa de a , determine a razâo entre o calor perdido a partir da superficie lateral da panela e o calor perdido devido à evaporaçâo da agua. A entalpia de vaporizaçăo da água a e de .
Respostas:
FIGURA P9-26
Uma aleta de alumínio de 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento é colocada em uma superfície. Esta aleta possui extremidade isolada. Se o coeficiente convectivo de transferência de calor é , determine o erro percentual da taxa de transferência de calor da aleta se esta for considerada como aleta de comprimento infinito.
Aletas circulares de resfriamento de diâmetro e comprimento , feitas de cobre , são utilizadas para aumentar a transferência de calor a partir de uma superfície mantida na temperatura . Cada vareta tem sua extremidade fixada nessa superfície , enquanto a extremidade oposta é fixada na segunda superficie, mantida a . O ar que flui entre as superfícies e a varetas também está a , e o coeficiente de convecção é .