Uma comporta de vertedouro, com a forma de um arco circular, tem w metros de largura. Determine o módulo da força devida a todos os fluidos atuando sobre a comporta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma comporta de vertedouro que tem a forma de um arco circular e tem uma largura de metros. Nossa missão aqui é descobrir qual é a força total que a água exerce sobre essa comporta. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre pressão e força hidrostática. Precisaremos entender como a pressão da água varia com a profundidade e como calcular a força resultante dessa pressão sobre uma superfície curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão exercida pela água em um ponto depende da profundidade desse ponto abaixo da superfície da água. A fórmula para a pressão hidrostática é:
p = rho cdot g cdot y
onde:
  • é a pressão,
  • é a densidade da água (aproximadamente ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a profundidade.

Passo 3

Agora, precisamos considerar que a comporta tem a forma de um arco circular. Vamos assumir que o arco é semicircular para simplificar. Assim, o raio do arco r = w2 será metade da largura:
A profundidade varia ao longo da altura do arco. Para cada pequena parte da comporta, a profundidade muda, então precisamos integrar a força sobre toda a superfície do arco.

Passo 4

Vamos parametrizar o arco usando o ângulo y = r cdot (1 - cos theta) medido a partir do ponto mais baixo do arco ( dF = p cdot dA = rho cdot g cdot y cdot dA ) até o ponto mais alto ( dA = L cdot r cdot sin theta cdot dtheta ). A profundidade em termos de é:
A força diferencial exercida em uma pequena área na posição é:
A área diferencial em termos de é a largura (que, no caso, consideramos igual a 1 metro para simplificação) multiplicada pela diferença de altura:

Passo 5

Substituindo dF = rho cdot g cdot r cdot (1 - cos theta) cdot r cdot sin theta cdot dtheta e dF = rho cdot g cdot r^2 cdot (1 - cos theta) cdot sin theta cdot dtheta na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos integrar F = rho cdot g cdot r^2 integral0^pi (1 - cos theta) cdot sin theta , dtheta de integral (1 - cos theta) cdot sin theta , dtheta a integral u , du = u^22 = (1 - cos theta)^22 para obter a força total (1 - cos pi)^22 - (1 - cos 0)^22 = (1 - (-1))^22 - (1 - 1)^22 = 42 - 0 = 2 :
Vamos resolver essa integral:
Fazendo a substituição , então :
Avaliado de 0 a :

Passo 7

Substituindo o resultado da integral na expressão de F = rho cdot g cdot r^2 cdot 2 :
F = rho cdot g cdot (w2)^2 cdot 2
Substituindo F = rho cdot g cdot w^24 cdot 2 :
F = rho cdot g cdot w^22

Resposta

A força total exercida pela água sobre a comporta é:
F = rho cdot g cdot w^22

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