Uma comporta de vertedouro, com a forma de um arco circular, tem w metros de largura. Determine o módulo da força devida a todos os fluidos atuando sobre a comporta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma comporta de vertedouro que tem a forma de um arco circular e tem uma largura de
metros. Nossa missão aqui é descobrir qual é a força total que a água exerce sobre essa comporta. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de Mecânica dos Fluidos, especificamente sobre pressão e força hidrostática. Precisaremos entender como a pressão da água varia com a profundidade e como calcular a força resultante dessa pressão sobre uma superfície curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão exercida pela água em um ponto depende da profundidade desse ponto abaixo da superfície da água. A fórmula para a pressão hidrostática é:
onde:
-
é a pressão, -
é a densidade da água (aproximadamente ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a profundidade.
Passo 3
Agora, precisamos considerar que a comporta tem a forma de um arco circular. Vamos assumir que o arco é semicircular para simplificar. Assim, o raio do arco
será metade da largura:
A profundidade
varia ao longo da altura do arco. Para cada pequena parte da comporta, a profundidade muda, então precisamos integrar a força sobre toda a superfície do arco.
Passo 4
Vamos parametrizar o arco usando o ângulo
medido a partir do ponto mais baixo do arco (
) até o ponto mais alto (
). A profundidade
em termos de
é:
A força diferencial
exercida em uma pequena área
na posição
é:
A área diferencial
em termos de
é a largura
(que, no caso, consideramos igual a 1 metro para simplificação) multiplicada pela diferença de altura:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
:
Passo 6
Agora, vamos integrar
de
a
para obter a força total
:
Vamos resolver essa integral:
Fazendo a substituição
, então
:
Avaliado de 0 a
:
Passo 7
Substituindo o resultado da integral na expressão de
:
Substituindo
:
Resposta
A força total exercida pela água sobre a comporta é: