Uma aleta de alumínio (k=237 W / m^circ C) de 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento é colocada em uma superfície. Esta aleta possui extremidade isolada. Se o coeficiente convectivo de transferência de calor é 12 W /(m^2 circ C), determine o erro percentual da taxa de transferência de calor da aleta se esta for considerada como aleta de comprimento infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma aleta de alumínio com certas dimensões e propriedades térmicas. A gente precisa calcular o erro percentual na taxa de transferência de calor se a aleta for considerada de comprimento infinito, comparando com o caso real de comprimento finito. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre transferência de calor por condução e convecção, além de usar fórmulas específicas para aletas de comprimento finito e infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar. Para uma aleta de comprimento infinito, a taxa de transferência de calor Qinfty = h cdot A cdot Tb é dada por:
Q = raizh cdot P cdot k cdot A cdot Tb
onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é a área superficial da aleta,
  • é a diferença de temperatura entre a base e o ambiente.
Já para uma aleta de comprimento finito, a taxa de transferência de calor é:
onde:
  • é o perímetro da seção transversal da aleta,
  • é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Vamos calcular a taxa de transferência de calor considerando a aleta como de comprimento infinito. Primeiro, precisamos calcular a área superficial A = pi cdot d cdot L = pi cdot 0,004 , m cdot 0,10 , m = 0,001256 , m^2 . A aleta tem 10 cm de comprimento e 4 mm de diâmetro, então:
Qinfty = h cdot A = 12 , Wm^2 cdot °C cdot 0,001256 , m^2 = 0,01507 , W
Agora, aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor para a aleta de comprimento finito. Primeiro, calculamos o perímetro P = pi cdot d = pi cdot 0,004 , m = 0,01257 , m :
Q = raizh cdot P cdot k cdot A1 cdot Tb = raiz12 cdot 0,01257 cdot 237 cdot 0,001256 cdot Tb
Agora, aplicando a fórmula para Q = raiz12 cdot 0,01257 cdot 237 cdot 0,001256 cdot Tb approx raiz0,045 cdot Tb approx 0,212 cdot Tb :
QQinfty approx 0,2120,01507 approx 14,06
Simplificando dentro da raiz:
Como é a mesma para ambas as condições, podemos considerar a relação entre e :
Isso indica que há uma diferença significativa entre os dois casos.

Passo 5

Agora, vamos calcular o erro percentual da taxa de transferência de calor considerando a aleta como de comprimento infinito em relação ao caso real de comprimento finito:
Erro percentual = ( Qinfty - QQ ) times 100% = ( 0,01507 - 0,2120,212 ) times 100% approx -92,2%
O valor negativo indica que a consideração de comprimento infinito subestima a taxa de transferência de calor.

Resposta

O erro percentual na taxa de transferência de calor ao considerar a aleta como de comprimento infinito é de aproximadamente -92,2%.

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