Uma aleta de alumínio
de 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento é colocada em uma superfície. Esta aleta possui extremidade isolada. Se o coeficiente convectivo de transferência de calor é
, determine o erro percentual da taxa de transferência de calor da aleta se esta for considerada como aleta de comprimento infinito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma aleta de alumínio com certas dimensões e propriedades térmicas. A gente precisa calcular o erro percentual na taxa de transferência de calor se a aleta for considerada de comprimento infinito, comparando com o caso real de comprimento finito. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre transferência de calor por condução e convecção, além de usar fórmulas específicas para aletas de comprimento finito e infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que vamos precisar. Para uma aleta de comprimento infinito, a taxa de transferência de calor
é dada por:
onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção, -
é a área superficial da aleta, -
é a diferença de temperatura entre a base e o ambiente.
Já para uma aleta de comprimento finito, a taxa de transferência de calor
é:
onde:
-
é o perímetro da seção transversal da aleta, -
é a condutividade térmica do material.
Passo 3
Vamos calcular a taxa de transferência de calor considerando a aleta como de comprimento infinito. Primeiro, precisamos calcular a área superficial
. A aleta tem 10 cm de comprimento e 4 mm de diâmetro, então:
Agora, aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor para a aleta de comprimento finito. Primeiro, calculamos o perímetro
:
Agora, aplicando a fórmula para
:
Simplificando dentro da raiz:
Como
é a mesma para ambas as condições, podemos considerar a relação entre
e
:
Isso indica que há uma diferença significativa entre os dois casos.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro percentual da taxa de transferência de calor considerando a aleta como de comprimento infinito em relação ao caso real de comprimento finito:
O valor negativo indica que a consideração de comprimento infinito subestima a taxa de transferência de calor.
Resposta
O erro percentual na taxa de transferência de calor ao considerar a aleta como de comprimento infinito é de aproximadamente -92,2%.