Um comprador de blocos de cimento acredita que a qualidade dos produtos da marca A esteja se deteriorando. Sabe-se, por experiência passada, que a força média de esmagamento desses blocos era de 400 libras, com desvio padrão de 20 libras. Uma amostra de 100 blocos da marca A forneceu uma força média de esmagamento de 390 libras (supor distribuição normal). Testar ao nível de 2,5 %, supondo que a qualidade média dos blocos tenha diminuído.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo: Um comprador acha que a qualidade dos blocos de cimento da marca A está piorando. Antes, a força média desses blocos era de 400 libras, com um desvio padrão de 20 libras. Agora, numa amostra de 100 blocos, a média caiu para 390 libras. Queremos testar, com 2,5% de nível de significância, se essa queda na média é realmente significativa. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipóteses para a média de uma população com distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese nula ( H0): A média da força dos blocos é igual a 400 libras.
  • Hipótese alternativa ( Ha): A média da força dos blocos é menor que 400 libras.
Matematicamente:
H0: mu = 400
Ha: mu < 400

Passo 3

Como conhecemos o desvio padrão da população (20 libras) e temos uma amostra grande (100 blocos), podemos usar o teste z. O próximo passo é calcular o Erro Padrão da Média (SE), que nos ajuda a medir a precisão da média amostral:
SE = sigmaraizn = 20raiz100 = 2010 = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste z usando a média da amostra:
z = barx - muSE = 390 - 4002 = -102 = -5
Isso significa que a média da amostra está 5 desvios padrões abaixo da média esperada.

Passo 5

Vamos determinar o valor crítico para um nível de significância de 2,5% em um teste unilateral (já que queremos saber se a média diminuiu). Consultando uma tabela z, o valor crítico é aproximadamente -1,96.

Passo 6

Comparamos o valor do nosso teste z com o valor crítico:
  • Nosso z calculado: -5
  • Valor crítico: -1,96
Como -5 é menor que -1,96, isso significa que estamos na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Dado que o valor do teste z (-5) é menor que o valor crítico (-1,96), rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir, com 2,5% de confiança, que a média da força de esmagamento dos blocos da marca A diminuiu.

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